Sur les exponentielles de polynomes et sur l'arithmétique des produits de lois de Poisson. (Q2601063)

Im ersten Kapitel beantwortet Verf. die Frage nach der notwendigen und hinreichenden Beschaffenheit der Koeffizienten eines Polynoms \(P \,(x)=\sum\limits_{1}^{p} a_{\nu} \, x^{\nu}\), damit in der Reihendarstellung \(e^{P \,(x)}=\sum\limits_{0}^{\infty} A_n \, x^n\) alle \(A_n \geqq 0\) sind. Ist \(\delta_m\) der größte gemeinsame Teiler der in \(Q_m=\sum\limits_{m+1}^{p} a_{\nu} \, x^{\nu}\) auftretenden Exponenten (bei \(a_{\nu} = 0\) wird \(\nu\) weggelassen), so lautet Theorem I: Notwendig und hinreichend dafür, daß es ein \(N\) gibt, so daß für alle \(n > N\) die Koeffizienten \(A_n \geqq 0\) sind, ist die Forderung, daß \(\delta_m\) für jedes negative \(a_m\) ein Teiler von \(m\) ist. Theorem II besagt, daß bei Erfülltsein von gewissen Voraussetzungen die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß \textit{alle} \(A_n \geqq 0\) sind, sich als endlich viele Ungleichungen angeben lassen, die bei genügend kleinen Absolutbeträgen der negativen Koeffizienten \(a_m\) erfüllt sind. -Im zweiten Kapitel wird \(e^{P \,(x)}\) als erzeugende Funktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung \(A_n\) betrachtet, was nur bei Bestehen von Theorem II möglich ist. Verf. untersucht die Zerlegbarkeit derartiger Verteilungen in \textit{Poisson}gesetze, die bekanntlich unbegrenzt oft zerlegbar sind, und in unteilbare Gesetze. Als notwendige und hinreichende Bedingungen für das Vorhandensein von einem nicht weiter zerlegbaren Faktor findet Verf. ähnliche Bedingungen wie bei Theorem II. Schließlich wird noch ein Satz über Verteilungsgesetze bewiesen, die sowohl in ein Produkt von \textit{Poisson}gesetzen, als auch in ein Produkt von nicht mehr weiter zerlegbaren Verteilungsgesetzen zerlegt werden können. (IV 6 A.)