Sur la distribution de \(\omega^2\) (critérium de M. v. Mises). (Q2601110)

Als Maß der Abweichung zwischen \(F(x)\) und \(S_n(x)\) verwendet \textit{v. Mises} die Größe \[ \omega^2=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot[S_n(x)-F(x)]^2 \cdot dx, \] \textit{Smirnoff} die Größe \[ \omega_n^2=n\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g\{F(x)\}\cdot[S_n(x)-F(x)]^2\cdot dF(x). \] Hat \(t(1-t)\cdot g(t)\) im Intervall \(0 < t < 1\) eine stetige Ableitung, so strebt die Wahrscheinlichkeit \(\varPhi_n(\omega)\) von \(\omega_n^2\) für \(n\to\infty\) gegen \[ \varPhi(\omega)=1-\frac1\pi\sum_{k=1}^\infty \int\limits_{\lambda_{2k-1}}^{\lambda_{2k}} \dfrac{e^{-\omega\lambda}\cdot d\lambda}{\lambda\cdot\sqrt{-D(\lambda)}}, \] wobei die \(\lambda_k\) die charakteristischen Zahlen des Kerns \(K(x, y)\) der \textit{Fredholm}schen Determinante \(D(\lambda)\) sind: \[ \begin{aligned} K(x,y)&=\sqrt{g(x)\cdot g(y)}x(1-y)\quad\text{für} \;\;x\leqq y,\\ K(x,y)&=\sqrt{g(x)\cdot g(y)}y(1-x)\quad\text{für} \;\;x\geqq y. \end{aligned} \]