Angenäherte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. (Q2601176)

Zur Lösung des linearen Gleichungssystems \[ \sum_{k=1}^n a_{ik}x_k+b_i=0 \qquad (i =1,2,\ldots, n), \] das der Bedingung \[ \sum_{k=1}^n a_{ik}^2=1 \] wenigstens annähernd genügt, geht man von beliebigen ersten Näherungen \(x_1^0, x_2^0,\ldots,x_n^0\) aus und teilt die folgenden Näherungen in Gruppen zu \(n\). Ist die \(p\)-te Gruppe \[ \begin{matrix}\l\\ x_1^{(p,1)}\;x_2^{(p,1)} \;\ldots \;x_n^{(p,1)}\\ \hdotsfor1\\ x_1^{(p,n)}\;x_2^{(p,n)} \;\ldots \;x_n^{(p,n)}, \end{matrix} \] so bildet man daraus eine \((p+1)\)-te Gruppe nach folgendem Schema \[ \begin{matrix}\l\\ x_i^{(p+1,1)} = x_i^{(p,n)}\hphantom{^{+1-1}}-a_{1i}L_1^{(p,n)}\\ x_i^{(p+1,2)} = x_i^{(p+1,1)}\hphantom{^{-1}}-a_{2i}L_2^{(p+1,1)}\\ \hdotsfor1\\ x_i^{(p+1,n)} = x_i^{(p+1,n-1)}-a_{ni}L_n^{(p+1,n-1)}.\\ \end{matrix} \qquad (i=1,2,\ldots,n) \] Hier bedeutet \[ L_i^{(r,s)}=\sum_{k=1}^n a_{ik}x_k^{(r,s)}+b_i. \] Verf. zeigt, daß die Folge der Näherungen gegen die gesuchte Lösung konvergiert.