Anschauliches zur Picarditeration bei Differentialgleichungen. (Q2601219)

Verf. untersucht anschaulich zunächst die Konvergenz des Iterationsverfahrens zur Bestimmung der Wurzeln von Gleichungen, insbesondere das \textit{Newton}sche Verfahren. Das Ergebnis dieser Untersuchungen faßt er dahin zusammen, daß die Gleichung auf eine solche Form \(x= \varphi(x)\) gebracht werden muß, daß die ``Schrittfunktion'' \(\varphi(x)\) sich möglichst wenig mit \(x\) ändert. Aus der anschaulichen Betrachtung der \textit{Picard}schen Iteration für die Gleichung \(\dot x = g (x, t)\) ergibt sich, daß in der Schrittfunktion \(\dfrac 1p g(x,t)\) \(\Bigl(\dfrac1p\) Symbol für die Integration\(\Bigr)\) sowohl der Vorfaktor \(\dfrac 1p\) wie die \textit{Lipschitz}bedingung für geringe Abhängigkeit der Schrittfunktion von \(x\) sorgen. Für die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten stimmt die \textit{Picard}sche Methode der sukzessiven Approximation mit der \textit{Heaviside}-Methode überein. Bei nichtlinearen Gleichungen ergibt die Betrachtung eine anschauliche Deutung der \textit{Lipschitz}bedingung.