Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen. (Q2601259)

Die Bestimmung der (theoretisch möglichen) Anzahl isomerer chemischer Verbindungen läuft hinaus auf die Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, aus gegebenen Stücken topologisch verschiedene Graphen (hier speziell Bäume) herzustellen, die der Strukturformel der betreffenden Stoffe entsprechen, hier der Kohlenwasserstoffe (Paraffine und Alkohole). Ausgangspunkt ist hier eine Aufgabe der Kombinatorik. Es liegt eine Permutationsgruppe \(S\) von \(s\) permutierten Stellen vor; außerdem ein Figurenvorrat. Von jeder Figur sei bekannt, wieviele rote, blaue, gelbe usw. Punkte sie enthalte. Mit diesen Figuren werden die \(s\) Stellen besetzt, wobei auch Wiederholungen vorkommen dürfen. Gefragt wird nach der Anzahl der bezüglich \(S\) inäquivalenten, aus \(s\) Figuren bestehenden Konfigurationen, die eine vorgegebene Anzahl von roten, blauen, gelben usw. Punkten enthalten. Äquivalent sind zwei Konfigurationen bezüglich \(S\), wenn sie durch \(S\) ineinander übergeführt werden können. Die Berechnung dieser Anzahlen wird im ersten Teil durchgeführt. Im zweiten Teil wird die hierfür gefundene Regel angewendet auf die Bestimmung der Anzahl \(t_n\) der topologisch verschiedenen Bäume mit \(n\) Punkten und von \(T_n\), der Anzahl der topologisch verschiedenen Bäume mit \(n + 1\) Punkten, wobei ein Endpunkt als ``Wurzelpunkt'' ausgezeichnet ist (``Setzbäume''). Im Hinblick auf die chemischen Anwendungen (die Kohlenwasserstoffe) kommen weiterhin nur Bäume in Betracht, die nur Punkte erster und vierter Ordnung enthalten (\(C\) -- \(H\)-Bäume). Es werden die Formeln abgeleitet zur Gewinnung der Zahlen \(r_n\), Anzahl der topologisch verschiedenen \(C\) -- \(H\)-Bäume mit \(n\) Punkten vierter Ordnung (Paraffine der Molekularformel \(C_nH_{2n+2}\)) und \(R_n\) der entsprechenden Setzbäume (der Alkohole \(C_nH_{2n+1}OH\)), ebenso der mehrfach substituierten Paraffine und Cykloparaffine (\(C_nH_{2n}\)), weiter der Anzahlen \(s_n\), der stereoisomeren Paraffine, \(S_n\) der stereoisomeren Alkohole, \(q_n\) der isomeren Paraffine ohne asymmetrische Kohlenstoffatome, \(Q_n\) der isomeren Alkohole ohne asymmetrische Kohlenstoffatome. Es ergibt sich u. a. \(S_n \leqq \dfrac{1}{n} \begin{pmatrix} 3n\\ n-1 \end{pmatrix}\); \(\dfrac{n^{n-1}}{n!} \leqq T_n \leqq \dfrac{1}{n} \begin{pmatrix} 2n-2 \\ n-1 \end{pmatrix}\). Enthält ein Alkohol \(\alpha\) asymmetrische \(C\)-Atome, so ist \(n\geqq 2\alpha+2\); im Falle des Gleichheitszeichens gibt es genau eine Struktur mit \(\alpha\) asymmetrischen \(C\)-Atomen. Im letzten Teil wird die asymptotische Berechnung obiger Anzahlen durchgeführt. Ist \(r (x) = 1 + R_1 x + R_2x^2 +\cdots + R_nx^n + \cdots\) und werden \(q (x)\), \(s (x)\), \(t (x)\) entsprechend aus den \(Q_n\), \(S_n\), \(T_n\) gebildet, so genügen diese Potenzreihen folgenden Funktionalgleichungen: \[ \begin{gathered} r(x)=1+x\cdot \dfrac{r(x)^3+3r(x) r(x^2) +2r(x^3)}{6},\\ s(x) = 1+ x\cdot \dfrac{s(x)^3+2s(x^3)}{3},\\ q(x)=1 + xq(x)q(x^2). \end{gathered} \] Diese Funktionen werden auf ihr funktionentheoretisches Verhalten, Konvergenzradius und analytische Fortsetzung über die Konvergenzgrenze hinaus untersucht. Sie haben alle auf ihrem Konvergenzkreis nur einen (auf der positiven \(X\)-Achse gelegenen) singulären Punkt, der für \(q (x)\) ein Pol erster Ordnung, für die anderen ein algebraischer Verzweigungspunkt erster Ordnung ist. Für die Konvergenzradien \(\varrho\) und \(\sigma\) von \(r (x)\) und \(s (x)\) ergibt sich \[ 0,35 < \varrho < 0,36;\quad 0,30<\sigma < 0,31. \] (III 2, IV 4 C.)