Die gordische Auflösung von Knoten. (Q2601268)

Eine der nächstliegenden anschaulichen Knoteninvarianten ist die Mindestzahl der Selbstdurchdringungen, die zur Auflösung des Knotens erforderlich ist, die ``Überschneidungszahl \(s\)''. Diese der Berechnung unzugängliche Invariante setzt Verf. in Beziehung zu Homologieeigenschaften des Knotenaußenraumes. Durch eine genaue Untersuchung der Wirkung einer Selbstdurchdringung auf die eindimensionale Homologiegruppe der \(g\)-blättrigen längs des Knotens \(k\) verzweigten zyklischen Überlagerung der Sphäre gelangt Verf. zu dem Ergebnis: Für einen Knoten \(k\) mit der Überschneidungszahl \(s = n\) hat die eindimensionale Homologiegruppe der \(g\)-blättrigen zyklischen Überlagerung höchstens \(n (g - 1)\) wesentliche Erzeugende. Verf. behandelt dann eine Reihe von Beispielen im Hinblick auf den Zusammenhang mit anderen Knoteninvarianten, insbesondere mit dem Geschlecht \(h\) (\textit{H. Seifert}, Math. Ann. 110 (1934), 571-592; JFM 60.0523.*). Für den durch Aneinanderreihen von \(n\)-Kleeblattschlingen entstehenden Knoten ist \(s = h = n\). Die Knoten \(8_{20}\) und \(9_{42}\) der \textit{Alexander-Briggs}schen Tabelle liefern \(h = 2\), \(s = 1\); \(9_{46}\) ergibt \(h = 1\), \(s = 2\); der zuletzt genannte Knoten erscheint als Spezialfall einer Konstruktion, die Knoten mit \(s = 2h\) liefert.