Sur les lacunes d'un polyèdre et leurs relations avec les groupes de Betti. (Q2601277)

\(P\) sei ein endliches, zusammenhängendes Polyeder beliebiger Dimension. Ist \(D^i\) ein \(i\)-dimensionales simpliziales Element, so wird unter ``Ansetzen'' von \(D^i\) an \(P\) eine simpliziale Abbildung von \(D^i\) verstanden, bei der die Randsphäre \(S^{i-1}\) von \(D^i\) auf einen Teilkomplex von \(P\) abgebildet wird, während das Bild von \(D^i- S^{i-1}\) fremd zu \(P\) bleibt. Die folgende Aufgabe wird gestellt und gelöst: Man soll durch sukzessives Ansetzen von \(N_2,\ldots, N_i,\ldots\) Elementen \(D^2,\ldots, D^i,\ldots\) alle Löcher (``lacunes'') von \(P\) ausfüllen, d. h. \(P\) zu einem Polyeder \(P'\) erweitern, dessen Fundamentalgruppe und \textit{Betti}sche Gruppen verschwinden (m. a. W., das ein absoluter Retrakt ist); und zwar soll dies mit möglichst kleinen \(N_i\) geschehen. Diese Minimalzahlen \(N_i\) werden folgendermaßen bestimmt: Es sei \(p^i\) die \(i\)-te \textit{Betti}sche Zahl, \(\mu^i\) die Anzahl der \(i\)-ten Torsionskoeffizienten von \(P\), und \(\mu\) die kleinste Anzahl von Relationen, die man zu der Fundamentalgruppe von \(P\) hinzufügen muß, um sie auf die Identität zu reduzieren. Dann ist \[ N_2=\mu, \quad N_3=p^2+\mu^2+(\mu-p^1),\quad N_{i+1}=p^i+\mu^i+\mu^{i-1} \quad \text{für} \quad i>2. \] Bei dem Beweis, daß diese Minimalzahlen wirklich erreicht werden, wird die neue Homotopietheorie von \textit{Hurewicz} benutzt (Proc. Akad. Wet. Amsterdam 38 (1935), 112-119, 521-528, 39 (1936), 117-126, 215-224; JFM 61.0618.*, 619; 62\(_{\text{I}}\), 678).