Einlagerung von Mannigfaltigkeiten in euklidische Räume. (Q2601280)

Ist eine (simpliziale) geschlossene \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(\mathfrak M^n\) in die \((n + 1)\)-dimensionale Sphäre \(\mathfrak G^{n+1}\) (simplizial) topologisch eingebettet, so folgt aus dem \textit{Alexander}schen Dualitätssatz: \(\mathfrak M^n\) ist orientierbar und zerlegt \(\mathfrak G^{n+1}\) in zwei Gebiete \(\mathfrak J^{n+1}\) und \(\mathfrak A^{n+1}\); für die Torsionsgruppen und die \textit{Betti}schen Zahlen gilt: \[ \begin{alignedat}{2}{4} \mathfrak T^i(\mathfrak M^n) &= \mathfrak T^i(\overline{\mathfrak J}^{n+1})+\mathfrak T^{n-i-1}(\overline{\mathfrak J}^{n+1})& &= \mathfrak T^i(\overline{\mathfrak A}^{n+1}) + \mathfrak T^{n-i-1}(\overline{\mathfrak A}^{n+1})&,\\ p^i(\mathfrak M^n) &= p^i(\overline{\mathfrak J}^{n+1})+p^{n-i}(\overline{\mathfrak J}^{n+1})& &= p^i(\overline{\mathfrak A}^{n+1}) + p^{n-1}(\overline{\mathfrak A}^{n+1})&\vspace{-8pt} \end{alignedat} \] \[ (\text{wobei }\quad \overline{\mathfrak J}^{n+1}=\mathfrak J^{n+1}+\mathfrak M^n, \quad \overline{\mathfrak A}^{n+1} = \mathfrak A^{n+1}+\mathfrak M^n). \] Daraus folgen notwendige Bedingungen für die Möglichkeit der Einbettung von \(\mathfrak M^n\) in \(\mathfrak G^{n+1}\): Bei geraden \(n\): Die \textit{Euler}sche Charakteristik von \(\mathfrak M^n\) ist gerade, und \(p^{\frac{n}{2}} (\mathfrak M^n)\) ist gerade. Bei ungeradem \(n\): Die \(\frac12(n-1)\)-te Torsionsgruppe ist direkte Summe zweier isomorpher Gruppen, d. h. von den Torsionskoeffizienten muß stets eine gerade Anzahl gleiche Werte haben. Beispiele von Mannigfaltigkeiten, die sich nicht in die \(\mathfrak G^{n+1}\) einbetten lassen, sind für \(n\equiv0\;(\text{mod}\, 4)\) die komplexen projektiven Räume, für n \(\equiv -1 (\text{mod}\, 4)\) die reellen projektiven Räume, für \(n = 3\) die Linsenräume. Für \(n = 3\) zeigt Verf., daß sich die angegebene Bedingung nicht verschärfen läßt: Zu jeder als \(\mathfrak T^1\) zulässigen Gruppe kann man eine \(\mathfrak M^3\) in \(\mathfrak G^4\) mit dieser \(\mathfrak T^1(\mathfrak M^3)\) konstruieren. Als Beispiel gibt Verf. eine sehr übersichtliche Einbettung des Quaternionenraumes in die \(\mathfrak G^4\). Ferner wird gezeigt, daß sich die durch Zusammenheften zweier Produkte von je drei Kreisen längs eines Elements gebildete \(\mathfrak M^3\) auf zwei wesentlich verschiedene Arten (die schon durch die \(p^1\) der Komplementärgebiete unterscheidbar sind) in die \(\mathfrak G^4\) einbetten läßt.