The meaning of completeness. (Q2601330)

Abgeschlossenheit ist eine Eigenschaft, die sich auf das System der Teilmengen eines Raumes bezieht und durch Erweiterung in einer Obermenge der betreffenden Menge, der abgeschlossenen Hülle, erreichbar ist. Entsprechend läßt sich die Vollständigkeit auffassen als eine Eigenschaft in bezug auf ein System von Mengen (einschließlich deren Teilmengen), zwischen welchen gewisse Isomorphismen bestehen, erreichbar durch ``Erweiterung'' in einer Menge des Systems, ``der vollständigen Hülle'', die eine zur betreffenden Menge isomorphe Teilmenge enthält. Die Axiome der vollständigen Hülle erhält man aus denen der abgeschlossenen Hülle, indem man die Begriffe der Mengengleichheit und der Teilmenge ersetzt durch die der Isomorphie und der isomorphen Teilmenge. Über diese Analogie hinaus kann man der Vollständigkeitseigenschaft ein System von Abgeschlossenheitseigenschaften zuordnen, welches umgekehrt wieder die erstere bestimmt.