Filtres et ultrafiltres. (Q2601334)

Ein System \(F\) von Teilmengen einer Menge \(E\) heißt nach Verf. ein Filter, wenn 1) \(F\) nicht leer ist und die leere Menge nicht zu \(F\) gehört; 2) der Durchschnitt je zweier Mengen von \(F\) und 3) jede Obermenge einer Menge von \(F\) wieder zu \(F\) gehört. Den Filtern weist Verf. die Rolle von Umgebungssystemen zu. Beispiel: Bei einer abzählbaren Folge unendlich vieler Elemente bilden die Teilmengen, die aus der Folge durch Streichung endlichvieler Elemente entstehen, ein Filter, ein Elementarfilter (welches als Umgebungssystem eines durch die Folge erklärten idealen Elementes anzusehen ist). (An den Axiomen 2) und 3) ist nichts Neuartiges, sie sind völlig identisch mit dem \textit{Hausdorff}schen Axiom (B) in \textit{Tietze}schen Fassung (Math. Ann. 88 (1923), 290-312 (F. d. M. 49, 397 (JFM 49.0397.*)), insbesondere S. 295), d. Ref.) Gilt für zwei Filter \(F_1, F_2\) die Beziehung \(F_1 \subset F_2\), so heißt \(F_2\) feiner als \(F_1\). Mittels dieses Begriffes läßt sich ein dem Diagonalverfahren bei Folgen entsprechender Satz über Elementarfilter formulieren. Ist jedem Punkt einer Menge \(E\) ein Filter zugeordnet, so wird \(E\) zu einem Raum; es werden dabei zusätzliche Forderungen gestellt, die den \textit{Hausdorff}schen Axiomen (C) und (D) entsprechen. Man kann dann jedem Filter ``Häufungspunkte'' zuordnen, Kompaktheit definieren usw. Verf. betrachtet auch sogenannte privilegierte Familien von Filtern, d. h. solche Filterfamilien, die mit jedem Filter auch jedes dazu feinere, ferner zu jedem beliebigen Filter ein dazu feineres enthalten.