Regular skew polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues. (Q2601417)

In \textit{Schläfli}scher Symbolik werden die fünf regulären (\textit{Platon}ischen) Polyeder bekanntlich so geschrieben: \[ \{3,3\},\quad \{3,4\},\quad \{4,3\}, \quad \{3,5\},\quad \{5,3\}. \] \textit{Kepler} entdeckte die folgenden drei, unendlich viele Flächen aufweisenden, regulären Polyeder \[ \{4,4\},\quad \{3,6\},\quad \{6,3\} \] und kannte schon zwei der vier Sternpolyeder \[ \biggl\{5, \dfrac52\biggr\},\quad \biggl\{\dfrac52, 5\biggr\},\quad \biggl\{3,\dfrac52\biggr\},\quad \biggl\{\dfrac52, 3\biggr\}; \] die übrigen fand \textit{Poinsot} auf; \textit{Cauchy} bewies, daß es nur diese vier gibt. Verf. gibt an, daß \textit{J. F. Petrie} 1926 zwei neue reguläre, ins Unendliche gehende Polyeder entdeckt habe, die hier eingehend untersucht und von denen Teilmodelle in Abbildungen gegeben werden. -- (1) Dem ersten Polyeder kommt das vom Verf. eingeführte Symbol \(\{4, 6|4\}\) zu \((\{l, m|n\}\) bedeutet: Das Polyeder besteht aus regelmäßigen \(l\)-Ecken, in jeder Ecke treffen sich \(m\) Kanten, und ein Kantenweg (``Loch''), der so gebildet ist, daß man an jeder Ecke unter Überspringung einer Kante, die zur Linken bleibt, weitergeht, besteht aus \(n\) Kanten. Beispiel: Ikosaeder \(= \{3, 5 | 5\}.\)). Es besteht demnach aus Quadraten, von denen in jeder Ecke sechs zusammenstoßen; die auftretenden Löcher sind ebenfalls Quadrate (Fig. 1). Man kann das Polyeder aus dem Würfel ableiten. -- (2) Das zweite gehört zum Oktaeder und hat das Symbol \(\{6, 4|4\}\). Es besteht demgemäß aus Sechsecken, von denen sich in jeder Ecke vier treffen; die auftretenden Löcher sind Quadrate (Fig. 2). -- (3) Endlich entdeckte Verf. im Zusammenhang mit (2) ein drittes, ins Unendliche gehendes reguläres Polyeder. Es gehört zum Tetraeder und weist das Symbol \(\{6, 6|3\}\) auf: In jeder Ecke stoßen sechs Sechsecke zusammen; die auftretenden Löcher bestehen aus Dreiecken (Fig. 3). -- Für den Nachweis der Regularität dieser Polyeder wird nun eine ausführliche Theorie entwickelt, wobei in der Hauptsache der Begriff der Symmetriegruppe im Mittelpunkt steht. Man kann daraus die Werte \(l, m, n\) im Symbol \(\{l,m|n\}\) trigonometrisch finden und zeigen, daß \(\{4, 6|4\}, \;\{6, 4|4\}\) und \(\{6,6|3\}\) die einzigen Lösungen der für diese Bestimmung eintretenden trigonometrischen Gleichung sind. Diese unendlichen Polyeder nennt Verf. der Reihe nach ``Komplemente'' des Würfels, bzw. des Oktaeders, bzw. des Tetraeders. Hierauf werden der Zusammenhang dieser Polyeder mit den gleichförmigen Polytopen des \(R_4\) studiert und interessante topologische Erweiterungen der Theorie gegeben.