Darstellende Geometrie der Hermite'schen Ebene. (Q2601443)

Es wird die parabolische \textit{Hermite}sche (\(=\) H.) Geometrie der Ebene (vgl. \textit{E. Study}, Math. Ann. 60 (1905), 321-378; F. d. M. 36, 614 (JFM 36.0614.*); Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie Bd. III, Teil 2 (1933); JFM 59.0598.*) mit den Mitteln der neueren darstellenden Geometrie behandelt. Es liegen zugrunde die Kollineationen und Antikollineationen der komplexen projektiven Ebene \(\varepsilon\), die das \textit{Hermite}sche Entfernungsquadrat zweier Punkte \((u_1-u_2) (\bar u_1 - \bar u_2) + (v_1 - v_2)(\bar v_1 - \bar v_2)\) als relative Invariante (\(G_9\) der H. Ähnlichkeiten und Antiähnlichkeiten) bzw. als absolute Invariante (\(G_8\) der H. Bewegungen und Antibewegungen) haben. -- Der komplexe Punkt \(\mathfrak P(u = x_1 + ix_2, v = x_3 + ix_4)\) der Ebene \(\varepsilon\) kann nach \textit{C. Segre} (Math. Ann. 40 (1890), 413-467; F. d. M. 24, 640 (JFM 24.0640.*)-644) und \textit{Study} (a. a. O.) durch einen einfachen Projektionsprozeß auf den reellen Punkt \(P(x_1, x_2, x_3, x_4)\) des \(R_4\) abgebildet werden: Bedeuten \(O\) den Ursprung, \(O_i\) die Fernpunkte der cartesischen Koordinatenachsen des \(R_4\) ist ferner \(\varepsilon = [OO_1O_3]\), sind \(j\) und \(\bar j\) (geeignete) konjugiert komplexe Verbindungsgeraden der absoluten Punkte der Geraden \(o_1 = [O_3O_4]\) und \(o_2 = [O_1O_2]\), dann ist der Bildpunkt \(P\) von \(\mathfrak P\) der Schnittpunkt der Ebenen \([\mathfrak Pj]\) und \([\bar\mathfrak P_j]\). Die Fernpunkte von \(\varepsilon\) übertragen sich dabei auf die Strahlen eines elliptischen Netzes im Fern-\(R_3\) des \(R_4\), des sogenannten \textit{absoluten Netzes} \(N\). -Nun wird die bekannte darstellend-geometrische Abbildung der reellen Punkte \(P(x_1, x_2, x_3, x_4)\) des \(R_4\) auf orientierte Paare reeller Punkte \(P'(x_1,x_2)\), \(P''(x_3, x_4)\) zweier Bildfelder \(\pi_1\) und \(\pi_2\) herangezogen (vgl. \textit{P. H. Schoute}, Mehrdimensionale Geometrie I (1902; F. d. M. 33, 571 (JFM 33.0571.*)), S. 84), welche in einer Bildebene vereinigt und durch das Paar der Nebenbilder \(P_{14}(x_1, x_4)\), \(P_{23}(x_2, x_3)\) ergänzt werden. Es \textit{werden auf konstruktivem Wege die wichtigsten Begriffe projektiver und parabolisch-Hermiteschmetrischer Natur der komplexen Ebene mittels der Methoden der darstellenden Geometrie des \(R_4\) veranschaulicht.} Dabei wird u. a. ein von \textit{E. Kruppa} stammendes Prinzip der Achsentransformation (Mh. Math. Phys. 34 (1936), 157-160; JFM 62.0724.*) herangezogen. Die Strahlen des absoluten Netzes werden mittels eines Nebenauges perspektiv übertragen auf die Strahlen eines Drehnetzes (Fluchtliniennetz) des \(R_3: x_4 = 0\) und sind damit konstruktiv erreichbar. -- Einer komplexen Geraden der Ebene \(\varepsilon\) entspricht im \(R_4\) eine synektische Ebene (deren Ferngerade dem absoluten Netze angehört). Sie bildet sich ab auf eine gleichsinnige Ähnlichkeit zwischen den Bildfeldern \(\pi_1\) und \(\pi_2\). Sonderfälle. Einer Minimalgeraden von \(\varepsilon\) z. B. entspricht eine Vierteldrehung von \(\pi_1\) gegen \(\pi_2\). Es werden die Aufgaben des Verbindens zweier Punkte und des Schneidens zweier Geraden von \(\varepsilon\) gelöst. -- Den Punkten einer eindimensionalen \textit{Staudt}schen Kette in \(\varepsilon\) entspricht im \(R_4\) ein Kreis (eine Gerade) in einer synektischen Ebene. Ihr Bild sind zwei gleichsinnig-ähnliche Kreise (Geraden) der beiden Bildfelder. -- Der \textit{Hermite}sche Abstand zweier Punkte von \(\varepsilon\), wird zum euklidischen Abstand ihrer Bildpunkte. Ein \textit{Hermite}scher Kreis in \(\varepsilon\) überträgt sich auf eine Hyperkugel des \(R_4\). Er kann mit einer Geraden keinen, einen oder die Punkte einer Kette gemein haben. Dazu wird in den Bildfeldern \(\pi_1\), \(\pi_2\) ein Beispiel des letzten Typus gegeben. -- Es wird der \textit{Hermite}sche Winkel zweier Geraden definiert und behandelt. Ihren Fernpunkten entsprechen im \(R_4\) zwei Strahlen des absoluten Netzes, die für die Maßfläche des \(R_4\) \textit{Clifford}-parallel sind, also einen eindeutig bestimmten elliptischen Abstand, den \textit{Hermite}schen Winkel der komplexen Geraden in \(\varepsilon\) haben. Seine Maßzahl wird als ein euklidischer Winkel konstruktiv ermittelt. Z. B. entsprechen normalen komplexen Geraden im \(R_4\) ganznormale synektische Ebenen. -- Schließlich werden auch die Gruppen der \textit{Hermite}schen Bewegungen und Ähnlichkeiten behandelt. Ihnen entsprechen im \(R_4\) die Gruppen \(G_8\) und \(G_9\) jener Bewegungen und Ähnlichkeiten, welche die beiden Geraden \(j\) und \(\bar j\) der Maßfläche festlassen. Da im \(R_4\) jede Bewegung Produkt von zwei Drehungen um ganz-normale Ebenen ist, kann jede \textit{Hermite}sche Bewegung als Produkt \textit{Hermite}scher Drehungen um zwei normale komplexe Geraden dargestellt werden. Werden diese kontinuierlich ausgeführt (mit konstantem Verhältnis ihrer Drehwinkel), dann entsteht eine \textit{Hermite}sche Schraubung der komplexen Ebene, die an einem letzten Beispiel auch konstruktiv behandelt wird.