Leçons d'algèbre et de géométrie. Tome III: Élimination. Éléments de géométrie réglée. Transformation de Lie. Applications à la géométrie conforme. (Q2601450)

Der dritte Band des Werkes ist methodisch und didaktisch auf dasselbe Ziel ausgerichtet, wie seine beiden Vorgänger (1935, 1936; JFM 61.0667.*): Lehrbücher im besten Sinne des Wortes zu sein, die nicht nur dem Lernenden, sondern auch dem Lehrenden dienen können. In besonders hohem Maße gilt dies Letztere vom vorliegenden Bande. Hinsichtlich der Klarheit und Durchsichtigkeit der Darstellung des Stoffes ist auch für diesen, in das ganze Werk sich organisch eingliedernden dritten Band dasselbe zu sagen, was wir bereits in den Besprechungen seiner beiden Vorgänger ausgeführt haben, so daß wir darauf verweisen können. Wir geben daher nur eine kurze Inhaltsangabe dieses Bandes an, der als Fortsetzung der beiden genannten in die Kapitel 14-21 gegliedert ist. (1) Im vierzehnten Kapitel wird die Theorie der symmetrischen Funktionen ausführlich entwickelt und der Fundamentalsatz bewiesen. Sie wird dann auf die Elimination der Unbekannten algebraischer Gleichungen angewendet, wobei Gelegenheit ist, die Methode des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome einzuführen und als geometrische Anwendung das \textit{Bézout}sche Theorem (der ebenen Geometrie) zu beweisen. Weitere Anwendungen aus der Theorie der algebraischen Flächen (insbesondere der Monoide) und eine Beweisskizze des \textit{Bézout}schen Theorems im Raum folgen (2) Der Gegenstand des fünfzehnten Kapitels ist eine allgemeine Theorie der (ebenen und räumlichen) geometrischen Örter, der eine Fülle von Beispielen eingearbeitet sind. -- (3) Im sechzehnten Kapitel werden \textit{Plücker}sche Koordinaten eingeführt ihre geometrische Bedeutung wird aufgezeigt und die unter ihnen statthabenden Relationen hergeleitet. -- (4) Das Siebenzehnte Kapitel studiert in aller Ausführlichkeit die Geometrie des linearen Komplexes und führt noch die \textit{Klein}schen Koordinaten einer Geraden ein. -(5) Das achtzehnte Kapitel betrachtet Büschel linearer Komplexe. Zuerst werden lineare Kongruenzen behandelt, dann die Geometrie des \textit{Plücker}schen Konoids entwickelt, singuläre Punkte der Flächen dritter Ordnung und Regelflächen dritter Ordnung untersucht, das Theorem von \textit{Picard} bewiesen. -- (6) Das neunzehnte Kapitel bringt ausführlich und gegenständlich-anschaulich die Geometrie des tetraedralen Komplexes und beginnt mit dem Beweis des allgemeinen Satzes von \textit{Lie} über die Kurven eines Komplexes beliebiger Ordnung. -- (7) Die Einführung des Begriffs der \textit{Lie}schen Transformation (Berührungstransformation) auf zwei verschiedene Arten, ihre analytische Darstellung und der Beweis des Fundamentalsatzes sind der Inhalt des ersten Teils des zwanzigsten Kapitels. In seinem zweiten Teil werden die pentasphärischen Koordinaten erklärt und zur Darstellung und Lösung von in diesem Zusammenhang auftretenden geometrischen Fragestellungen benützt. -- (8) Das letzte Kapitel endlich beschäftigt sich mit Berührungstransformationen, die die Krümmungslinien erhalten, behandelt kurz die Theorie der orthogonalen Substitutionen und bestimmt in seinem zweiten Teil die konforme Transformationsgruppe des Raumes. Der dritte Teil untersucht konforme Raumtransformationen, die eine Ebene fest lassen, und bringt die Anwendungen auf \textit{Klein}sche und \textit{Fuchs}sche Gruppen. Dem Buche sind vier Noten angefügt. In der ersten derselben werden Ausschnitte aus der Geometrie der Regelflächen behandelt; die zweite handelt vom Komplex der Trägheitsachsen; die dritte beschäftigt sich nochmals mit der \textit{Lie}schen Transformation die vierte endlich mit Berührungstransformationen. Gute Abbildungen und einige Literaturhinweise vervollständigen die allgemeinen Entwicklungen des Bandes, dem, wie auch seinen beiden Vorgängern, eine reiche Verbreitung unter Studierenden und akademischen Lehrern gewünscht werden darf. (V 6 B, D.) Besprechung: A. Buhl; Enseign. math. 36 (1937), 412-413.