Les transformations circulaires réelles du plan. (Q2601459)

Es werden die \textit{Möbius}schen Kreisverwandtschaften \(\varGamma\) der reellen Ebene und ihre grundlegenden Eigenschaften vom elementaren Standpunkt aus behandelt. Wenn man von den Ähnlichkeiten absieht, läßt sich jede direkte Kreisverwandtschaft darstellen als Produkt einer Inversion und einer Umlegung, jede indirekte aber als Produkt einer Inversion und einer Bewegung. -- Jede eigentliche Transformation \(C\) besitzt zwei reell-verschiedene oder zusammenfallende Doppelpunkte. Mittels einer Inversion kann man sie transformieren in eine direkte Ähnlichkeit, deren Modul \(k\) und Winkel \(\alpha\) die charakteristischen Invarianten von \(C\) in der \textit{Möbius}gruppe (\(\varGamma\)) sind. Verschiedene besondere Typen. Die \textit{Möbius}-Involution. -- An indirekten Transformationen \(C'\) gibt es drei Typen. Einen ersten \(C_h'\) mit zwei reell-verschiedenen Doppelpunkten, als dessen Musterfall eine indirekte Ähnlichkeit dient. Deren Modul gibt die charakteristische Invariante. Der zweite Fall \(C_1'\) hat zwei zusammenfallende Doppelpunkte. Als Muster dient eine Umlegung. Es gibt keine Invariante. Im dritten Fall \(C_r'\) gibt es keine reellen Doppelpunkte, wohl aber ein Paar konjugiert-komplexer. Als Muster dient die ``Antirotation'' (\(=\) Inversion, gefolgt von einer Drehung um ihr Zentrum). Deren Winkel \(\alpha\) gibt die charakteristische Invariante. -- Schließlich werden Anwendungen auf die Zerlegung der allgemeinen Transformationen \(\varGamma\) in Produkte von ``einfachen'' Typen (\(=\) solchen, die mindestens ein Büschel von selbstentsprechenden Kreisen zulassen) gegeben. Z. B. kann jede direkte \textit{Möbius}transformation als Produkt von vier, jede indirekte als Produkt von drei Inversionen dargestellt werden.