Die charakteristischen Hauptachsen der einscharig in einer linearen Strahlenkongruenz enthaltenen scheitelrechten Hyperboloide. (Q2601497)

In der Abhandlung wird wieder der seit langem erfolgreich beschrittene Weg eingeschlagen, die lineare Strahlenkongruenz \(C_1^1\) aus ihren \(\infty^3\) quadratischen Regelscharen aufzubauen. Die Hauptachsen aller einscharig in C\ enthaltenen Flächen zweiten Grades \(F^2_s\) bilden einen quadratischen Komplex \(\varGamma^2\). Im ersten Abschnitt wird eine einfache Konstruktion der charakteristischen Hauptachsen aller einscharig in \(C_1^1\) enthaltenen \textit{scheitelrechten Hyperboloide} entwickelt, die von \(\varGamma^2\) unabhängig ist. Mit dieser Konstruktion zusammenhängende Darlegungen geben die Möglichkeit, mit dem Hauptachsenkomplex \(\varGamma^2\) auch die von den Komplexstrahlen s getragenen Scheitelpunkte- und Asymptotenebenenpaare der Flächen \(F^2_s\) zu erfassen. Grundlegend für die Fokaltheorie von \(C_1^1\) sind die Eigenschaften des gleichseitigen Fokalparaboloides \(C^2\) von \(C^1_1\), das beidscharig involutorisch im geschart involutorischen Raume \(\varSigma_{ig}\) von \(C_1^1\) liegt. \(C^2\) ist orthogonal verknüpft mit dem Hauptachsenzylindroid \(C^3\) der \(C_1^1\) enthaltenden linearen Strahlenkomplexe. Hiervon ausgehend wird im zweiten Teil der Abhandlung das Verhältnis der Paraboloide im Gebüschverband einscharig in \(C_1^1\) enthaltener Flächen zweiten Grades zu seinen Büschelscharen mit je einer gemeinsamen Symmetrieebene und weiterhin zu den scheitelrechten Hyperboloiden untersucht. Die charakteristischen Hauptachsen dieser Hyperboloide erweisen sich dabei als diejenigen Tangenten des Hauptachsenzylindroids \(C^3\), die auf den mit ihren Berührungspunkten inzidenten Flächenregelstrahlen senkrecht stehen. Die Kongruenz der charakteristischen Hauptachsen der genannten scheitelrechten Hyperboloide ist zweiter Ordnung und zweiter Klasse. Sie verhält sich zur allgemeinen quadratischen Strahlenkongruenz ähnlich wie die parabolische lineare Strahlenkongruenz zur allgemeinen linearen.