Complementi alla teoria generale delle corrispondenze tra varietà algebriche. I, II. (Q2601499)

I. In Fortführung früherer Untersuchungen (Atti Accad. naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. fis. mat. nat. (6) 23 (1936), 818-823; JFM 62.0745.*) untersucht Verf. die nullvalenten \(r\)-dimensionalen Korrespondenzen \(T\) auf einer \(r\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(M\) vom topologischen Gesichtspunkt aus näher; insbesondere klärt er, warum die Rangzahlen einer solchen \(T\) für \(r > 1\) nicht nur von den geometrischen Eigenschaften der \(M\), sondern auch von den Basiszahlen abhängen. Sind die Zyklen \(\varGamma_k^l(l=1,\ldots, R_k)\) eine intermediäre Basis der \(k\)-Zyklen auf \(M\), so ist im Sinne einer Pseudohomologie, d. h. bis auf nicht hebbare gleiche ganzzahlige Faktoren: \[ T(\varGamma_k^l)\approx \sum\limits_j \mu_{jl}^{(k)}\varGamma_k^j \] mit ganzzahligen \(\mu_{ij}^{(k)}\). Eine Korrespondenz \(T\) der Valenz oder Pseudovalenz null verwandelt jeden Zykel ungerader Dimensionen von \(M\) in einen zu null homologen oder pseudohomologen und jeden Zykel gerader Dimension in einen algebraischen Zykel, und umgekehrt haben die \(T\) mit diesen Eigenschaften die Valenz oder Pseudovalenz null. II. Auf Grund dieses Ergebnisses kann man für \(k = 2s\) statt der \(\varGamma_k^l\) die Bildzykeln einer intermediären Basis \(A_s^j\) \((j = 1,\ldots, \varrho_s)\) algebraischer \(s\)-dimensionaler Mannigfaltigkeiten wählen. Ordnet \(T\) einem Punkte von \(M\) \(\beta\) Punkte auf der Bildmannigfaltigkeit \(M' = M\) und einem Punkt von \(M'\) \(\alpha\) Punkte auf \(M\) zu, so wird die Zahl der Deckpunkte von \(T\) gleich: \[ \alpha+\beta+\sum\limits_{s=1}^{r-1} \delta_s,\qquad \delta_s=\sum\limits_{j=1}^{\varrho_s}\mu_{jj}^{2(r-s)}, \tag{1} \] worin die \(\delta_s\) die Rangzahlen von \(T\) bedeuten. Statt dieser kann man auch die Indices \(\delta_{hi}^{(s)}\) einführen, d. h. die Anzahlen homologer Punktepaare von \(M, M'\), deren erster auf \(A^h_s\) und deren zweiter auf \(A^i_{r-s}\) fällt, wobei \(A^h_s\) und \(A^i_{r-s}\) je eine intermediäre algebraische Basis durchlaufen. Die \textit{Zeuthen}schen Korrespondenzen sind ein Spezialfall derjenigen, in denen \(T\) jeden Zykel ungerader Dimension in einen nullhomologen und jeden Zykel gerader Dimension \(2s\) in ein Vielfaches eines gegebenen algebraischen Zykels \(A_s\) abbildet; wählt man dann eine algebraische \(A_{r-s}\) so, daß die Schnittzahl \([A_s,A_{r-s}] \neq0\) ist und ist \(\delta^{(s)}\) der Index bezüglich des Paares \(A_s,A_{r-s}\), so ist die Rangzahl: \[ \delta_{r-s}=\dfrac{\delta^{(s)}}{[A_s,A_{r-s}]} \] in (1) einzusetzen, um das zugehörige Korrespondenzprinzip zu erhalten.