Note on a net of quadric surfaces. I: The Cremona transformation. II: Anharmonic covariants. (Q2601512)

I. Die \textit{Cremona}-Transformation ordnet jedem Punkte den Schnittpunkt seiner Polarebenen in bezug auf die Flächen des Netzes zu. Ihre Fundamentalpunkte liegen auf der \textit{Jacobi}schen Kurve des Netzes und sind Scheitel von Kegeln des Netzes. Verf. untersucht die Fixelemente der Transformationen. Weiter gibt er einige projektive Kovarianten des Netzes: 1. Den Ort der Punkte, deren Verbindungslinien mit ihren Konjugierten auf einem Kegel des Netzes liegen. 2. Die aus den Tangenten an die \textit{Jacobi}sche Kurve gebildete Regelfläche. 3. Ihre Konjugierte. 4. Die Regelfläche, die aus denjenigen Sehnen der \textit{Jacobi}schen Kurve besteht, die gleichzeitig Mantellinien von Kegeln des Netzes sind. 5. Die Regelfläche, die aus Sehnen der \textit{Jacobi}schen Kurve gebildet ist, die Erzeugende einer nicht singulären Fläche des Netzes sind. 6. Ihre Konjugierte. 7. Die Regelfläche, die aus allen Sehnen der \textit{Jacobi}schen Kurve besteht, für die die Tangenten in den Schnittpunkten mit der \textit{Jacobi}schen Kurve in einer Ebene liegen. II. Verf. deutet die drei Parameter, von denen die allgemeine Fläche des Netzes abhängt, als homogene Koordinaten einer Ebene. Einem Büschel entspricht eine Gerade. Die Basiskurve jedes Büschels ist eine elliptische Kurve vierter Ordnung. Ihr Modul kann rational durch das Doppelverhältnis der Parameter der vier in dem Büschel enthaltenen Kegel ausgedrückt werden. Der Gesamtheit der Büschel gleichen Moduls entsprechen gewisse Klassenkurven jener Ebene. Verf. bestimmt zuerst die Kurven \(I = 0\) und \(J = 0\), die der harmonischen und der äquianharmonischen Lage jener vier Kegel entsprechen. Alle andern Kurven stellen sich dann in der Form \(I^3 - aJ^2 = 0\) dar. Dieser Kurvenschar entspricht rückwärts eine Flächenschar, die eine Kovariante des Netzes gegenüber projektiven Transformationen bildet.