New foundations for mathematical logic. (Q2601622)

Verf. macht in dieser Arbeit einen Vorschlag zur Überwindung der Typentheorie, welche die Einführung des Unendlichkeitsaxioms notwendig macht und z. B. in der Arithmetik unbequeme Multiplizitäten zur Folge hat. Versucht man den üblichen Aufbau der Logik, ohne Typen zu verwenden, so erhält man leicht das \textit{Russell}sche Paradoxon, dessen Ableitung (in der vom Verf. gegebenen Darstellung) wesentlich auf einer Schlußregel, dem ``Abstraktionsprinzip'', beruht. Diese Regel fordert, daß \((\exists x)\, (y)\, (y \varepsilon x \equiv \varPhi)\) ein Satz ist, falls \(\varPhi\) eine \(x\) nicht enthaltende Formel ist. Im Gegensatz zum Vorgehen \textit{Russell}s, der nur gewisse ``geschichtete'', d. h. der Einteilung der Variablen in Typen entsprechende Formeln überhaupt zuließ, schlägt Verf. vor, alle ungeschichteten Formeln (wie z. B. ``\(x \varepsilon x\)'') beizubehalten, jedoch das obengenannte Abstraktionsprinzip auf geschichtete Formeln \(\varPhi\) zu beschränken. Hierdurch wird folgendes erreicht: (1) Die eingangs genannten Unbequemlichkeiten der üblichen Logik werden vermieden. (2) Man sieht keinen Weg, das \textit{Russell}sche Paradoxon oder verwandte Paradoxien abzuleiten, ohne aber natürlich die Widerspruchsfreiheit dieses Systems beweisen zu können, ebensowenig, wie man dies bisher für das System der typenbehafteten Logik mit Unendlichkeitsaxiom tun kann.