An extended arithmetic. (Q2601658)

Eine Menge heißt \textit{teilweise geordnet}, wenn für eine Teilmenge ihrer Paare \((x, y)\), die auch leer sein darf, eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation \(x < y\) erklärt ist. Verf. definiert abweichend von \textit{Hausdorff} (Mengenlehre, 2. Aufl., Berlin 1927; F.~d.~M. 53, 169) für solche Mengen \(A\), \(B\) drei Operationen, die wieder teilweise geordnete Mengen liefern: Die \textit{Summe} \(A + B\) ist die Menge der \(a\) aus \(A\) und der \(b\) aus \(B\), wobei jedes \(a\) von jedem \(b\) zu unterscheiden ist; die \(A\)- und die \(B\)-Ordnung werden auf \(A + B\) übertragen, zwischen ungleichartigen Elementen besteht keine Relation. Das \textit{Produkt} \(AB\) wird von allen Paaren \((a, b)\) gebildet; dann und nur dann soll \((a, b) < (a', b')\) in \(AB\) sein, wenn \(a < a'\) in \(A\) und \(b < b'\) in \(B\) gilt. Unter der \textit{Potenz} \(A^B\) wird die Menge aller eindeutigen monotonen Funktionen \(a = f(b)\) verstanden, die jedem \(b\) ein \(a\) derart zuordnen, daß aus \(b < b'\) in \(B\) folgt \(f(b) < f(b')\) in \(A\); in \(A^B\) soll dann und nur dann \(f < g\) gelten, wenn \(f(b) < g(b)\) in \(A\) für alle \(b\). \(A\) und \(B\) heißen isomorph \((A = B)\), wenn sie sich unter Erhaltung ihrer Ordnung eineindeutig aufeinander abbilden lassen. Im Sinne dieser Isomorphie sind Addition und Multiplikation kommutativ, assoziativ und (zweiseitig) distributiv. Das Potenzieren befolgt die üblichen Regeln. Eine \textit{endliche} teilweise geordnete Menge läßt sich eindeutig in additiv-unzerlegbare Summanden zerlegen. Die Frage, ob der für den Sonderfall des \textit{Gitters} vom Verf. an anderer Stelle (Bull. Amer. math. Soc. 40 (1934), 613-619, insbesondere 616; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 93) bewiesene entsprechende Satz der multiplikativen Zerlegung allgemein richtig ist, bleibt offen. Daher kann man aus \(A + B = A + C\) stets, aus \(AB = AC\) vorerst nur im Falle des Gitters die Isomorphie \(B = C\) folgern. Die Arbeit schließt mit einer Bemerkung zur lexikographischen Ordnung. (III 1, 5 B.)