Generalized weight properties of the resultant of \(n + 1\) polynomials in \(n\) indeterminates. (Q2601715)

Bildet man die Resultante \(R(f, g)\) zweier Polynome \[ f \equiv a_0x^n + a_1x^{n-1} +\cdots + a_n,\quad g\equiv b_0x^m + b_1x^{m-1} + \cdots+ b_m \] und legt nach Vorgabe zweier ganzer positiver Zahlen \(r(\leqq n)\) und \(s(\leqq m)\) jedem Koeffizienten \(a_i, b_j\) das Gewicht \(r - i\), \(s - j\) oder 0 bei, je nachdem \(r\geqq i\) oder \(r \leqq i\), bzw. \(s\geqq j, s\leqq j\) ist, dann hat jedes Glied der Resultante ein Gewicht \(\geqq rs\), und die Gesamtheit der Glieder vom Gewichte \(rs\) bildet den Ausdruck \[ (-1)^{(m-s)r}\cdot R(f_r, g_s)\cdot R(f^*_{n-r}, g^*_{m-s}), \] wobei \[ f_r\equiv a_0x^r + \cdots + a_r, \qquad g_s\equiv b_0x^s+\cdots + b_s, \] \[ f^*_{n-r}\equiv a_rx^{n-r}+\cdots +a_n,\quad g^*_{m-s}\equiv b_sx^{m-s}+\cdots +b_m \] gesetzt ist. Aus diesem Satz folgt sofort ein algebraischer Beweis dafür, daß die Schnittmultiplizität zweier Kurven in einem Punkte \(O\), der für sie die Multiplizitäten \(r\) bzw. \(s\) hat, \(\geqq rs\) und nur dann \(> rs\) ist, wenn die beiden Kurven eine der Tangenten in \(O\) gemein haben. Der erstgenannte Satz läßt sich auf die Resultante von \(n + 1\) Polynomen in \(n\) Unbestimmten in geeigneter Weise ausdehnen und liefert dann einen entsprechenden Satz über die Schnittmultiplizität von \(n + 1\) Hyperflächen eines \(R_{n+1}\) in einem mehrfachen Punkte derselben. (V 5 D, E.)