Sur la variation des zéros des dérivées des fractions rationnelles. (Q2601721)

Der Quotient \(P: Q\) zweier Polynome \(P (z)\) und \(Q(z)\) höchstens vom Grade \(n + m - 1\) bzw. \(n\) heiße eine rationale Funktion vom Typus \((n, m)\). Als Nullstellen der \(m\)-ten Ableitung von \(P: Q\) werden die Nullstellen des Polynoms \(\varPhi (P, Q, m)\) definiert, das im ``allgemeinen'' Falle (den Verf. kennzeichnet) den Zähler von \(\dfrac{d^m}{dz^m}\biggl(\dfrac{P}{Q}\biggr)\) bildet. Dabei gilt \(z = \infty\) als \([(m + n)(n - 1) - r]\)-fache Nullstelle von \(\varPhi\), wenn \(r\) der Grad von \(\varPhi\) ist. Über die Zählung der Nullstellen und Pole von \(P: Q\) werden vom Üblichen abweichende Festsetzungen getroffen, die für das Weitere zweckmäßig sind. \(C(p, q, D, \varDelta)\) sei die Klasse der rationalen Funktionen vom Typus \((n, m)\), die mindestens \(p\leqq n+m-1\) Nullstellen in \(D\) und mindestens \(q \leqq n\) Pole in \(\varDelta\) haben, wo \(D, \varDelta\) zwei abgeschlossene echte Teilmengen der abgeschlossenen \textit{Gauß}schen. Zahlenebene \(E\) sind. Im Falle \(p = 0\) bleibt \(D\), im Falle \(q = 0\) \(\varDelta\) willkürlich. Verf. behandelt dann folgendes Problem: Welches ist die größte ganze Zahl \(\varrho = \varrho (p, q, D, \varDelta) > 0\), der man eine abgeschlossene echte Teilmenge \(E_\varrho\) von \(E\) derart zuordnen kann, daß die \(m\)-te Ableitung einer beliebigen Funktion der Klasse \(C(p, q, D, \varDelta)\) mindestens \(\varrho\) Nullstellen in \(E_\varrho\) hat oder identisch verschwindet? Diese Zahl \(\varrho\) wird für 1) \(0\leqq p \leqq m\), 2) \(p > m, q = 0\) allgemein bestimmt; für 3) \(p > m, q >0\) in folgenden vier Fällen: a) \(D + \varDelta = E\); b) \(D + \varDelta \) ist ein Punkt; c) \(D \cdot \varDelta\) enthält eine offene Punktmenge; d) \(D\) und \(\varDelta\) sind je ein Punkt \((D \neq \varDelta)\). Dabei müssen zahlreiche Unterfälle unterschieden werden. Allgemein gilt im Falle 3) (ausgenommen 3a), 3b)) \[ \varrho_1(p, q)\leqq \varrho \leqq \varrho_2(p,q), \] wo \(\varrho_1 (p, q), \varrho_2 (p,q)\) die Werte von Q in den Fällen 3c) bzw. 3d) sind. Verf. gibt eine ausgedehnte Klasse von Fällen an, in denen \(\varrho = \varrho_2 (p, q)\) ist. Dabei ist wesentlich der Begriff der \textit{Trennungskonstanten} \(K (D, \varDelta)\) zweier Punktmengen \(D, \varDelta\), der hier nicht wiedergegeben werden kann. Verf. beweist nämlich für das vorliegende Problem: Es gibt stets eine endliche Zahl \(L \geqq 1\) derart, daß für \(K (D, \varDelta ) > L\) bei beliebigem \(p, q, \varrho =\varrho_2(p,q)\) ist, und zeigt, daß die untere Grenze \(L_0 (m, n, p, q)\) der Zahlen \(L\) bei festem \(n, m, p, q\) in der Regel \(> 1\) ist. Ist \(\varrho\) gefunden, so sind für jedes positive \(r\leqq \varrho\) die Mengen \(E_r\) zu bestimmen, die für jede Funktion der Klasse \(C (p, q, D, \varDelta)\) mindestens \(r\) Nullstellen von \(\varPhi (P, Q, m)\) enthalten; insbesondere die Minimalmengen \(E^*_r\) mit dieser Eigenschaft, d. h. jene \(E_r\), von denen keine echte Teilmenge eine \(E_r\) ist. Verf. gibt eine Reihe von Sätzen über die Mengen \(E_r\) und \(E_r^*\), sowie Beispiele von Fällen, in denen sie bestimmt werden können. Endlich werden Sätze über die Lage der Nullstellen der Gleichungen \[ \sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{(z-z_i)^{m+1}}=0, \quad \sum^n_{i=1}a_i(z-z_i)^k=0 \] aufgestellt, die mit einem vorher erhaltenen Ergebnis zusammenhängen. (IV 6 A.)