Some remarks on infinite groups. (Q2601773)

Läßt sich jede (echte) Untergruppe einer Gruppe \(\mathfrak G\) in eine größte Untergruppe einbetten, so ist bekanntlich die Gruppe \(\mathfrak E\) aller in jedem Erzeugendensystem von \(\mathfrak G\) entbehrlichen Elemente gleich dem Durchschnitt \(\mathfrak D\) aller größten Untergruppen. Wie Verf. zeigt, ist die genannte Einbettbarkeit keine notwendige Vorausetzung für die Identität der Gruppen \(\mathfrak E\) und \(\mathfrak D\), sondern \(\mathfrak E = \mathfrak D\) gilt allgemein, sofern \(\mathfrak D\) definiert ist. Dazu wird der Maximalsatz benutzt, daß es zu jeder Untergruppe \(\mathfrak H\) und jedem außerhalb \(\mathfrak H\) gelegenen Element \(g\) unter den \(\mathfrak H\), aber nicht \(g\) enthaltenden Untergruppen von \(\mathfrak G\) eine maximale gibt. Aus ihm läßt sich noch folgern: Für die Gültigkeit des Einbettungssatzes ist die Erzeugbarkeit aus endlich vielen Elementen hinreichend, aber nicht notwendig. Die folgenden Untersuchungen beschäftigen sich mit der Anzahl definierender Relationen von Gruppen endlich vieler Erzeugender. Läßt sich eine solche Gruppe in einem festen Erzeugendensystem nur durch unendlich viele Relationen definieren, so reichen auch bei keinem anderen Erzeugendensystem endlich viele Relationen aus. In dem besonderen Falle zweier Erzeugender ist die Anzahl dieser Gruppen von der Mächtigkeit des Kontinuums, während es offenbar nur abzählbar viele mit endlich vielen definierenden Relationen gibt.