Groups whose elements have bounded orders. (Q2601778)

Das bekannte \textit{Burnside}sche Problem, ob eine Gruppe aus \(n\) Erzeugenden endlich ist, wenn die Ordnungen ihrer Elemente Teiler einer Zahl \(k\) sind, führt auf die eindeutig bestimmte maximale Gruppe \(\mathfrak A_{k, n}\) dieser Art. Allgemeiner kann man fragen: Ist eine Gruppe \(\mathfrak G\) aus \(n\) Erzeugenden endlich, wenn ihre Elemente höchstens die Ordnung \(k\) haben? Verf. findet für den einfachsten nichttrivialen Fall \(k = 3\): Kommt in \(\mathfrak G\) kein Element der Ordnung 3 vor, so ist \(\mathfrak G\) das direkte Produkt von höchstens \(n\) Gruppen der Ordnung 2; enthält \(\mathfrak G\) kein Element der Ordnung 2, so ist \(\mathfrak G\) eine Faktorgruppe der \(\mathfrak A_{3, n}\), die nach \textit{Levi} und \textit{van der Waerden} (Abh. math. Sem. Hansische Univ. 9 (1932), 154-158; JFM 58.0125.*) die Ordnung \(3^{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}}\) hat Wenn \(\mathfrak G\) Elemente der Ordnungen 2 und 3 besitzt, so enthält \(\mathfrak G\) entweder ein direktes Produkt von höchstens \(n - 1\) Gruppen der Ordnung 3 als Normalteiler vom Index 2 und induziert in ihm den Automorphismus, der jedes Element ins Inverse überführt; oder \(\mathfrak G\) enthält ein direktes Produkt von höchstens \(n - 1\) Vierergruppen als Normalteiler vom Index 3 und induziert in jedem direkten Faktor einen Automorphismus der Ordnung 3. \(\mathfrak G\) ist also in jedem Falle endlich.