On the group-defining relations \((2, 3, 7; p)\). (Q2601780)

Es handelt sich um Gruppen mit den definierenden Relationen \((2, 3, 7; p)\): \[ S^3= T^2 = (ST)^7 = (S^{-1} T^{-1}ST)^p = 1, \] wo \(p\) eine natürliche Zahl ist. Aus der bisherigen Literatur ergibt sich, daß für \(p \leqq 7\) die vier Bedingungen entweder unvereinbar sind oder eine einzige endliche Gruppe definieren. Zunächst werden als erzeugende Elemente \(P = (ST)^{-1}\), \(Q = (ST)^2S\) eingeführt, so daß \(S =P^2Q\), \(T = P^3Q\) wird. Dann sind die definierenden Relationen \((2,3,7;p)\) mit \[ P^7 = Q^p = (QP^2)^3= (QP^3)^2 = 1 \] äquivalent. Weiter werden einige vom Verf. in der vorstehend angezeigten Arbeit bewiesene, aus den definierenden Relationen folgende Sätze angeführt, einige weitere abgeleitet. Es gilt u. a: \[ (QP^4)^3 = (Q^3P^3)^3 = (Q^2P^2)^3 = (Q^2P^5Q^2P^3)^2 =1, \;\;QP^2Q = PQP, \;\;(P^2QPQ^\alpha )^2= 1, \] letzteres für jedes ganze rationale \(\alpha\). Sodann wird die Ordnung \(t\) von \(Q^2P^5\) besprochen. Es wird gezeigt, daß die Annahmen \(t = 2\), \(t =4\) unzulässig sind. Hingegen gibt \(t = 3\) von selbst \(p =4\); man erhält die (einzige) einfache Gruppe der Ordnung 168. Bei \(t = 5\) kommt man genau auf eine Gruppe der Ordnung 12180. Für \(p > 7, t > 5\) sind anscheinend \(p\) und \(t\) von einander unabhängig. Hier wird der Fall \(p = 8\), \(t =6\) sehr genau besprochen. Von jetzt an ist also \(Q^8 = (P^2Q^5)^6 = 1\). Wie gezeigt wird, hat jede so definierte Gruppe die Eigenschaft, daß \(Q^4\) mit jedem Element \(P^iQ^4P^{-i}\) vertauschbar ist; \(Q^4\) hat die Ordnung 2; also haben alle diese Elemente als konjugiert zu \(Q\) diese Ordnung. Einschließlich \(Q\) hat man sieben solche Elemente. Leicht zu sehen ist, daß ihr Produkt l ist. Hieraus folgt, daß sich aus ihnen eine abelsche Untergruppe vom Typus \((2,\ldots, 2)\) von der Ordnung \(2^z\) aufbauen läßt, wobei \(z\leqq 6\) ist. Diese Untergruppe erweist sich als Normalteiler der Gesamtgruppe. Es ergibt sich, daß die Ordnung der Gesamtgruppe die Zahl \(10752 = 2^6 \cdot 168\) nicht überschreiten kann. Diese Ordnung wird tatsächlich erreicht. Die bezügliche Gruppe \(G\) läßt sich durch Permutationen des Grades 42 darstellen. Der abelsche Normalteiler \(H\) von \(G\), der aus den konjugierten Elementen von \(Q^4\) aufgebaut ist, hat die Ordnung \(2^6\). Die Frage, ob die Konjugierten von \(Q^4\) außer der schon erwähnten Relation noch eine Bedingung erfüllen können, beantwortet sich so: Durch \((2, 3, 7; 8)\), \ \(Q^4PQ^4P^4Q^4P^2 = 1\) wird eine Gruppe \(G'\) der Ordnung 1344 definiert, in der \((Q^2P^5)^6 = 1\) erfüllt ist. Der Normalteiler \(H'\) von \(G'\), gebildet aus den Konjugierten von \(Q^4\) und ihren Produkten, hat die Ordnung 8. \(G\) und \(G'\) sind die einzigen Gruppen, die \((2, 3, 7; 8)\), \(t = 6\) erfüllen.