Notes on the groups of genus one. (Q2601781)

Es werden Eigenschaften von Gruppen mit den definierenden Relationen \[ S^l = T^m = (ST)^n = 1 \;\;\text{mit}\;\;\;\dfrac1l + \dfrac1m + \dfrac1n = 1 \] besprochen. \(l, m, n\) ergeben sich gleich einem der Tripel 3, 3, 3; 3, 6, 2; 4, 4, 2. Im Falle 3, 3, 3 erzeugt die weitere Relation \((ST^{-1})^\alpha = 1\) eine Gruppe \(G\) der Ordnung \(3\alpha ^2\). Für ein Zahlenpaar \(b, c\), wo mit \(d = (b, c)\), \(b= db_1\), \(c = dc_1\) die Beziehung \[ \alpha = d(b_1^2 + b_1c_1 + c_1^2) \] erfüllt sei, gibt \((ST^{-1})^b (S^{-1} T)^c= 1\) weitere solche Gruppen mit \((ST^{-1})^\alpha= 1\). Sie sind als Faktorgruppen von \(G\) bezüglich der Potenzgruppe \(\{(ST^{-1})^b (S^{-1} T)^c\}\) darstellbar. Für \(\alpha \equiv 0 (3^p), \not\equiv 0 (3^{p+1}), p > 0\) ergibt sich für die Gruppe \(K\), die für \(b = c =\dfrac{\alpha}{3}\) entsteht: \(K\) ist als transitive Permutationsgruppe des Grades \(3^p\alpha\) darstellbar. Das Zentrum von \(G\) und \(K\) besteht aus je drei Elementen. Die Faktorgruppe von \(G\) bezüglich seines Zentrums ist isomorph \(K\), die von \(K\) isomorph der Gruppe, die aus \(G\) durch Ersatz von \(\alpha\) durch \(\dfrac{\alpha}{3}\) entsteht. -- Ähnliche Sätze gelten für beliebige \(b, c\), ebenso in den Fällen \(l, m, n = 3, 6, 2; 4, 4, 2.\)