Arithmetic functions on rings. (Q2601844)

Die fundamentalen Eigenschaften der \textit{Lucas}schen Zahlenreihen \[ u_n=\frac{\alpha ^n-\beta ^n}{\alpha -\beta } \] bei ganzzahligen \(\alpha +\beta \), \(\alpha \beta \) sind bekanntlich ihre Periodizität hinsichtlich eines ganzen Moduls und die Teilbarkeitseigenschaft: \[ u_n\,|\,u_m,\;\;\text{wenn}\;\;n\,|\,m. \] Die Frage nach der Gültigkeit des Teilbarkeitssatzes für allgemeinere zahlentheoretische Funktionen veranlaßt Verf. zu dieser Untersuchung in abstrakten Ringen. Es werden allgemeine Funktionen \(\varphi (x)\) untersucht, die jedem Element \(x\) eines kommutativen Ringes \(v\) ein Element \(X=\varphi(x)\) einer Struktur zuordnen. Die Funktion \(\varphi (x)\) heißt arithmetisch, wenn \(\varphi (a)<\varphi (b)\), falls \(a| b\) gilt. Die Enge des Raumes verbietet dem Ref. das Eingehen auf Einzelheiten.