Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices. (Q2601858)

(1) Ein \textit{Lie}scher Ring \(L\) mit wohlgeordneter Basis \(e_1\), \(e_{2}\), \(e_{3}\),\dots und den Zusammensetzungsregeln \[ e_i\,\circ\,e_k=\textstyle \sum c_{ik}^\nu e_\nu \] über dem Körper \(k\) läßt sich treu darstellen in einem assoziativen Ring \(\mathfrak A\) mit den Basiselementen \(e_{i(1)}e_{i(2)}\cdots e_{i(q)}\) (\(i(1)\leqq i(2)\leqq \cdots\leqq i(q)\), \(q\) beliebig) über \(k\). Beweis: \(\overline{\mathfrak A}\) sei der freie assoziative \(k\)-Ring mit den Erzeugenden \(\overline{e}_1\), \(\overline{e}_2\),\dots, und jedem Element aus \(\overline{\mathfrak A}\) sei ein Punkt eines Graphen zugeordnet. Von \(A\) wird eine nach \(B\) gerichtete Strecke gezeichnet, wenn \(B\) aus \(A\) durch Streckung, d. h. durch Ersetzung eines Potenzproduktes \(*\,\overline{e}_i\overline{e}_j\,*\) mit \(i > j\) in \(A\) durch \(*\,e_je_i\,*+\sum c_{ij}^\nu \,*\,e_\nu \,*\) entstanden ist. Von jedem Punkt \(A\) aus gelangt man nach endlich vielen Schritten zu einem Endpunkt, der einem ``kanonischen'' Element aus \(\overline{\mathfrak A}\) zugeordnet ist, d. i. eine Linearkombination von Potenzprodukten, in denen die \(\overline{e}_i\) in natürlicher Reihenfolge stehen. Wichtig ist der Nachweis, daß das kanonische Element eindeutig durch \(A\) bestimmt ist. Dazu wird gezeigt: Wenn \(A\to B\), \(A\to C\), so gibt es auch ein Element \(D\), so daß \(B\to\cdots\to D\), \(C\to\cdots\to D\), denn dann kann man von \(A\) nur an einen Endpunkt gelangen. Es brauchen nur die beiden Fälle: \[ \begin{aligned} A&=*\,\overline{e}_i\overline{e}_j\,*\, \overline{e}_{i'}\overline{e}_{j'}\,*+\cdots\qquad(i>j, i'>j'),\\ B&=\cdots\overline{e}_j\overline{e}_i\cdots, C=\cdot\cdots\overline{e}_{j'}\overline{e}_{i'}\cdots\end{aligned} \] und \[ \begin{aligned} A&=*\,\overline{e}_i\overline{e}_j\overline{e}_l\,*+\cdots, \qquad(i>j>l),\\ B&=\cdots\overline{e}_j\overline{e}_i\overline{e}_l\cdots, C=\cdots\overline{e}_i\overline{e}_l\overline{e}_j\cdots\end{aligned} \] betrachtet zu werden. Im ersten Fall ist einfach \(D=*\,\overline{e}_j\overline{e}_i\,*\, \overline{e}_{j'}\overline{e}_{i'}\,*+\cdots\), im zweiten Falle ergibt sich nach einigen Streckungen aus \(B\) und \(C\) ein gemeinsames Endergebnis: \(D=*\,\overline{e}_l\overline{e}_j\overline{e}_i\,*+\cdots\). Dabei müssen natürlich die in \(L\) gültigen Rechenregeln, insbesondere die \textit{Jacobi}identität, benützt werden. -- Werden nun zwei Elemente aus \(\overline{\mathfrak A}\) mit gleichem zugeordneten kanonischen Element als kongruent erklärt, so entsteht ein Faktorring \(\mathfrak A\), in dem sich die Abbildung \(e_i\to \overline{e}_i\) eindeutig zu einer Darstellung von \(L\) ergänzen läßt. Die Darstellung ist treu, da \(\mathfrak A\) als Basis über \(k\) die kanonischen Potenzprodukte \[ \overline{e}_{i(1)}\overline{e}_{i(2)}\cdots\overline{e}_{i(q)}\qquad \bigl(i(1)\leqq i(2)\leqq \ldots\leqq i(q)\bigr) \] über \(k\) besitzt. -- Eine Folge ist: (2) Jeder nilpotente \textit{Lie}sche Ring von endlich vielen Parametern aus \(k\) besitzt eine treue Darstellung in (endlich-reihigen) Matrizen. Hieraus folgt vermöge der \textit{Hausdorff}schen Formel: Die universelle Überlagerungsgruppe einer nilpotenten (d. h: hyperzentralen) kontinuierlichen Gruppe besitzt eine treue Darstellung in Matrizen. -- Am Schluß wird noch gezeigt: Jede kontinuierliche Matrizengruppe, deren zugeordneter (\textit{Lie}scher) Ring der infinitesimalen Transformationen nilpotent ist, ist direktes Produkt einer Gruppe aus Diagonalmatrizen und einer einfach zusammenhängenden kontinuierlichen Gruppe. (IV 7.)