Beweis des Normensatzes in einfachen hyperkomplexen Systemen. (Q2601865)

Es handelt sich um die Frage, wann eine Zahl \(\alpha \) aus dem Grundkörper \(k\) einer einfachen Algebra \(\mathfrak S/k\) Norm eines Elementes aus \(\mathfrak S/k\) ist. Unter dem Normensatz versteht man die Aussage, daß das genau dann der Fall ist, wenn \(\alpha \) an jeder Primstelle \(\mathfrak p\) von \(k\) Norm ist. Verf. beweist diesen Satz für Algebren \(\mathfrak S/k\) mit zyklischem Zentrum \(Z/k\). Für normales \(\mathfrak S\) \((Z=k)\) ergibt sich der Beweis aus der Gültigkeit des Normensatzes für zyklische Körper, indem auf Grund eines Satzes von \textit{Grunwald} (J. reine angew. Math. 169 (1933), 103-107; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 187-188) die Existenz eines zyklischen Zerfällungskörpers von \(\mathfrak S\) nachgewiesen wird, für den \(\alpha \) an jeder Stelle Norm ist. Darauf läßt sich der allgemeine Fall zurückführen. Unter einschränkenden Voraussetzungen für \(k\) wurde der Normensatz von \textit{Hasse} und \textit{Schilling} (J. reme angew. Math. 174 (1936), 248-252; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 108) bewiesen.