Die geometrische Theorie der algebraischen Funktionen für beliebige vollkommene Körper. (Q2601879)

Verf. begründet die klassische geometrische Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen für den Fall eines beliebigen vollkommenen Körpers als Koeffizientenbereich. Er bedient sich bei den Beweisen der grundlegenden Tatsachen dieser Theorie fast ausschließlich der von \textit{van der Waerden} eingeführten rein algebraischen Grundlagen der algebraischen Geometrie, also insbesondere des Prinzips der relationstreuen Spezialisierung und der dieser Methode zugrundeliegenden Resultantentheorie (\textit{van der Waerden}, Math. Ann. 97 (1927), 756-774, 110 (1934), 134-160; F. d. M. 53, 103 (JFM 53.0103.*), \(60_{\text{I}}\), 595). In \S\ 1 werden die Grundbegriffe über algebraische Mannigfaltigkeiten zusammengestellt (Schnitt, Summe, Irreduzibilität, Vielfachheit, Dimension). In \S\ 2 wird der Begriff der Schnittpunktgruppe entwickelt und der Satz von \textit{Bézout} bewiesen, also die Anzahl der Schnittpunkte einer algebraischen Hyperfläche mit einer irreduziblen Kurve \(C\) bestimmt. Spezialisiert man die allgemeine Hyperfläche zu einer allgemeinen Hyperfläche eines Linearsystems, so nennt man die durch den Schnitt mit \(C\) entstehende Schnittpunktgruppe eine lineare Schar. Es wird der Satz von \textit{Bertini} und ein Invarianzsatz der linearen Schar bei birationalen Abbildungen der Kurve \(C\) bewiesen (\S\ 3). In \S\ 4 wird gezeigt: Jede irreduzible Kurve \(C\) läßt sich durch birationale Abbildung in eine singularitätenfreie Kurve transformieren. Auf diesem Existenzsatz sind die weiteren Untersuchungen aufgebaut. Die birational invariante Begründung des Punktbegriffs geschieht auf folgende zwei Arten: a) Die Gesamtheit aller singularitätenfreien Darstellungen von \(C\) ist ein invarianter Begriff. Ein Punkt bzw. eine Punktgruppe auf \(C\) ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt bzw. eine Punktgruppe auf irgendeiner singularitätenfreien Darstellung. b) Die Gesamtheit aller allgemeinen Punkte von \(C\) ist ein invarianter Begriff. Es wird eine besondere Klasse von allgemeinen Punkten (sog. Zweige) definiert, die im engsten Zusammenhang mit den speziellen Punkten stehen (\S\ 5). Nach der Definition der Äquivalenz von Punktgruppen, der Vollscharen und des Geschlechts einer irreduziblen Kurve wird in den \S\S\ 6 und 7 der \textit{Riemann}-\textit{Roch}sche Satz bewiesen, im wesentlichen nach dem Vorbild von \textit{Severi} (\textit{F. Severi}, Trattato di geometria algebrica, Vol. I, Parte I; 1926; F. d. M. 52, 650 (JFM 52.0650.*)).