Beweis einer zahlentheoretischen Ungleichung. (Q2601919)

Es wird gezeigt: Sind \(m_1\), \(m_{2}\),\dots, \(m_{n}\) \((n\geqq 1)\) natürliche Zahlen, so verkleinert die Zahl \[ 1-\textstyle \sum\limits_{\varkappa }\dfrac{1}{m_\varkappa }+\kern-2pt\sum\limits_{\varkappa <\lambda }\dfrac{1}{m_\varkappa m_\lambda }-\kern-3pt\sum\limits_{\varkappa <\lambda <\mu }\dfrac{1}{m_\varkappa m_\lambda m_\mu }+-\dots +\dfrac{(-1)^n}{m_1m_2\cdots m_n} \] sich nicht, wenn man in den Nennern überall das Produkt der Zahlen \(m_\nu \) durch das kleinste gemeinsame Vielfache ersetzt; insbesondere bleibt sie dann und nur dann unverändert, wenn \(m_1\), \(m_{2}\),\dots, \(m_n\) paarweise teilerfremd sind. Durch Multiplikation mit \(m_1m_2\cdots m_n\) ergibt sich: Die Anzahl der durch keine der Zahlen \(m_1\), \(m_{2}\),\dots, \(m_n\) teilbaren natürlichen Zahlen bis \(m_1m_2\cdots m_n\) beträgt mindestens \[ \textstyle \prod\limits_{\nu =1}^{n}(m_\nu -1); \] diesen Wert selbst hat sie dann und nur dann, wenn \(m_1\), \(m_{2}\),\dots, \(m_n\) paarweise teilerfremd sind.