On numbers of the form \(a^2+\alpha b^2\). (Q2601978)

Verf. beweist: (1) Es sei \(\alpha \) eine positive ganze Zahl und \(p\) ein Primfaktor einer Zahl der Form \(m^2+\alpha n^2\), wo \(m\) und \(n\) beide prim zu \(p\) sind. Ferner sei \(pq\) das kleinste positive Vielfache von \(p\), für das es ganze Zahlen \(a\) und \(b\) gibt, so daß \(a^2+\alpha b^2 = pq\). Für \(p>(\frac{4}{3}\alpha )^{\frac{1}{2}}\) ist dann \(q\leqq (\frac{4}{3}\alpha )^{\frac{1}{2}}\). (2) Ein ähnlicher Satz gilt für die Form \(a^2-\beta b^2\), wenn \(\beta \) keine Quadratzahl ist. Als Anwendungen von Satz (1) werden die bekannten Sätze über die Darstellbarkeit von Primzahlen in der Form \(p=a^2+\alpha b^2\) gefolgert für Primzahlen der Form \(6k + 1\), \(8k + 1\), \(8k + 3\), \(14k + 1\), \(14k + 7\), \(14k + 11\), \(20k + 1\) und \(20k + 9\), ferner das quadratische Restverhalten von \(- 2\). Aus Satz (2) folgt die Darstellbarkeit der Primzahlen der Form \(10k + 1\), \(10k + 9\), \(12k + 1\) und \(12k + 11\) in der Form \(p = a^2 - \beta b^2\).