A problem in the additive theory of numbers of several variables. (Q2601994)

\(F_1(x,y)\), \dots, \(F_{k+1}(x,y)\) seien ganzwertige Polynome vom Grade \(k\). Mit passenden ganzzahligen \(a_{\mu\nu}^{(i)}\) ist dann \[ F_i(x,y)= \sum_{_{\substack{ \mu+\nu \leqq k \quad \\ \mu\geqq 0, \nu\geqq 0}}} a_{\mu\nu}^{(i)}P_\mu(x)P_\nu(y), \] wenn man \[ P_\lambda(x)= \frac{x(x-1) \cdots (x-\lambda+1)}{\lambda!} \] setzt. Ist nun die \((k+1)\)-reihige Determinante \(\varDelta = \left|a_{\lambda,k-\lambda}^{(i)}\right|\) von 0 verschieden, so gibt es, wie hier bewiesen wird, eine natürliche Zahl \(N\) und ein System von \(k + 1\) (nicht notwendig verschiedenen) Restklassen mod \(|\varDelta|\) so, daß für jedes Repräsentantensystem \(n_1\), \dots, \(n_{k+1}\) dieser Restklassen sich jedes \(n_j\) als Summe von \(N\) Größen der Gestalt \(\pm F_j(x_1,y_1)\), \dots, \(\pm F_j(x_N,y_N)\) (\(x_i\) und \(y_i\) ganz) darstellen läßt, wobei die Vorzeichenverteilung und die Wahl der Zahlenpaare \(x_i\), \(y_i\) für alle \(j\) dieselben sind und nur von der Wahl der Vertreter \(n_1\), \dots, \(n_{k+1}\), innerhalb der Restklassen abhängen. (Ist also insbesondere \(\varDelta = \pm 1\), so kann \(n_1\), \dots, \(n_{k+1}\) ein beliebiges System von \(k + 1\) ganzen Zahlen sein.) Insbesondere kann \(N = \left[\dfrac k2+1\right] \cdot 2^{k-1}\) gewählt werden. -- Dasselbe Verfahren liefert Sätze über Zerlegung binärer Formen vom Grade \(k\) in \(k\)-te Potenzen ganzzahliger Linearformen und über Zerlegung von Elementen aus Ringen mit endlicher Basis und ohne nilpotente Elemente in \(k\)-te Potenzen. (III 5 B.)