A generalization of an easier Waring-Kamke problem. (Q2601995)

\(F_1(x)\), \dots, \(F_m(x)\) seien ganzwertige Polynome, ihre Grade höchstens \(k\). Mit passenden ganzzahligen \(a_\mu^{(i)}\) ist dann \[ F_i(x) = \sum_{\mu=0}^k a_\mu^{(i)}P_\mu(x), \] wenn man \[ P_\mu(x) = \frac{x(x-1) \cdots (x-\mu+1)}{\mu!} \] setzt. Gefragt wird nach einer natürlichen Zahl \(N\) von der Beschaffenheit, daß für jedes System von \(m\) ganzen Zahlen \(n_1\), \dots, \(n_m\) sich jedes \(n_j\) als Summe von \(N\) Größen der Gestalt \(\pm F_j(x_1)\), \dots, \(\pm F_j(x_N)\) (\(x_i\) ganz) darstellen läßt, wobei die Vorzeichenverteilung und die Wahl der Zahlen \(x_i\) für alle \(j\) dieselben sind und nur von der Wahl der Zahlen \(n_1\), \dots, \(n_m\) abhängen. Bewiesen wird: Ein solches \(N\) gibt es dann und nur dann, wenn der Rang \(l\) der Matrix \((a_\mu^{(i)})\) (\(i\) Zeilen-, \(\mu\) Spaltenindex) und der größte gemeinsame Teiler ihrer \(l\)-reihigen Unterdeterminanten sich beim Hinzutreten einer aus lauter Einsen bestehenden Spalte (oder eines nichtverschwindenden Vielfachen einer solchen) nicht ändern. Das kleinste \(N\) ist in diesem Falle höchstens \(2^k - 1\).