Über einige neuere Fortschritte der additiven Zahlentheorie. (Q2601999)

Elementare lehrbuchmäßige Darstellung folgender neueren Sätze aus der additiven Zahlentheorie: (1) Satz von \textit{Winogradoff} zum \textit{Waring}schen Problem: \[ \limsup_{k\to \infty} \frac{G(k)}{k\log k} \leqq 6 \] (2) Satz von \textit{Schnirelmann} zur \textit{Goldbach}schen Vermutung: Jede natürliche Zahl \(> 1\) ist als Summe einer festen Anzahl von Primzahlen darstellbar. (3) Satz von \textit{Erdös}: Sind \(A\), \(B\) Mengen natürlicher Zahlen derart, daß die Anzahl \(A(x)\) der \(a \leqq x\) aus \(A\) einer Ungleichung \(\dfrac{A(x)}x \geqq \alpha\) mit \(\alpha > 0\) genügt und jede natürliche Zahl als Summe von höchstens \(l\) Zahlen \(b\) aus \(B\) darstellbar ist, so genügt die Anzahl \(S(x)\) der Zahlen \(a\), \(a + b \leqq x\) der Ungleichung \[ \frac{S(x)}x \geqq \alpha\left(1+\frac{1-\alpha}{2l}\right). \] Anschließend Sätze von \textit{Romanoff} über die in diesem Sinne verstandene Dichte der Summen \(p + n^k\) und \(p + k^n\) (\(k\) fest). (4) Sätze von \textit{Khintchine}, \textit{Besicovitch} und \textit{I. Chowla} über solche Dichten bei allgemein gelassenen Mengen \(A\), \(B\). (5) Satz von \textit{Siegel}: Für die Klassenzahl \(h(d)\) der positiven binären quadratischen Formen der Diskriminante \(d\) gilt \(\log h(d) \sim \log \sqrt{|d|}\).