On some infinite series involving arithmetical functions. (Q2602019)

Fur reelles \(t\) sei \(\{t\} = -\dfrac 1{\pi}\sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{\sin 2m\pi t}m\) \(\bigl( = 0\) für ganzes \(t\), \(= t - [t] - \dfrac 12\) für nicht ganzes \(t\bigr)\). Daß die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}n\{n\theta\}\) und die daraus durch formale Einführung der \textit{Fourier}reihe für \(\{t\}\) entstehende Reihe \(-\dfrac 1\pi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{A_n}n\sin 2n\pi \theta\) (\(A_n= \sum\limits_{d|n}a_d\)) beide konvergieren und denselben Wert haben, ist nicht immer zu erwarten, wird aber für den Fall, daß \(a_n = \mu(\sqrt n\)) für quadratisches \(n\), \(a_n = 0\) für nichtquadratisches \(n\), allgemein bewiesen, für fast alle \(\theta\) auch in den Fällen \(a_n= \mu(n)\), \(a_n = \lambda(n)\) und \(a_n=\varLambda(n)\). Für \(a_n = \mu(n)\) und \(a_n = \lambda(n)\) sind die Partialsummen von \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}n\{n\theta\}\) für alle \(\theta\) gleichmäßig beschränkt. (IV 3 D).