Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés. I. (Q2602032)

Verf. ordnet einer Folge reeller Zahlen \[ 1 < y_1 < y_2 < \cdots < y_n < \cdots \] eine neue Folge \[ 1 < x_1 \leqq x_2 \leqq \cdots \leqq x_n \leqq \cdots \] zu, welche gebildet wird von der Gesamtheit der Produkte \[ x=y_{n_1}y_{n_2}\ldots y_{n_\nu} \quad (\nu \geqq 1, \;n_1 \leqq n_2 \leqq \cdots \leqq n_\nu) \tag{1} \] und in der jedes Produkt so oft vorkommt, als \(x\) in der Gestalt (1) darstellbar ist. Die Zahlen \(y_n\) werden als Primzahlen der Folge der \(x_n\) bezeichnet. Es sei \(N(x)\) die Anzahl der \(x_n\), welche \(\leqq x\) sind, und \(\pi(x)\) die Anzahl der \(y_n\), welche \(\leqq x\) sind. Verf. untersucht das asymptotische Verhalten von \(\pi(x)\) für große \(x\), falls das asymptotische Verhalten von \(N(x)\) gegeben ist. Er beweist unter anderm den folgenden Satz: Es sei \[ \begin{gathered} \varPi(x)= \sum_{\nu=1}^\infty \frac 1\nu \pi \left(x^{\tfrac 1\nu}\right), \\ \varrho = \varrho_1> \varrho_2 > \cdots > \varrho_n \quad (n \;\text{ganz} \;\geqq 1), \quad A_1 > 0, \\ A_2, A_3, \ldots, A_n \;\text{reell}, \quad A_\varrho(x) = x\sum_{\nu=1}^n A_\nu\log^{\varrho_\nu-1}x. \end{gathered} \] Falls \[ N(x)=A_\varrho(x)+O\left(\frac x{\log^\gamma x}\right) \] gilt und \(1 \leqq \varrho < 2\), \(\gamma > 1 + \dfrac \varrho 2\), so ist \[ \varPi(x) \sim \varrho \frac x{\log x}. \] Für \(\varrho \geqq 2\) zeigt \(\varPi(x)\) aber ein ganz anderes asymptotisches Verhalten. Zu den Beweisen benutzt Verf. die \textit{Wiener}schen Methoden.