Über die Primzahlen der arithmetischen Progression. (Q2602034)

Es sei \(P(k,l)\) die kleinste Primzahl in der arithmetischen Reihe \[ kx + l \quad (x = 0, 1, 2, \ldots), \] wo \(k\) und \(l\) teilerfremde ganze rationale Zahlen sind und \(1\leqq l \leqq k - 1\). Weiter sei \(\pi(N,k,l)\) die Anzahl der Primzahlen in dieser Reihe, die \(\leqq N\) sind. Mit der (unbewiesenen) Annahme, daß sämtliche \textit{Dirichlet}sche \(L\)-Reihen \(L(s;\chi)\), wo \(s = \sigma + it\), für \(\sigma > \frac 12\) nirgends \(= 0\) sind, beweist Verf: (1) Es seien \(\varepsilon\) und \(\delta\) beliebig \(> 0\) und es sei \(N(k)\) eine beliebige Funktion, für die \[ N(k) > \varphi(k)\log^{4+\delta}k \] (\(\varphi(k)\) ist die \textit{Euler}sche Funktion). Dann ist die Anzahl derjenigen arithmetischen Progressionen mod \(k\), für die \[ \pi(N(k),k,l) > \frac{1-\varepsilon}{\varphi(k)} \frac{N(k)}{\log N(k)}, \] für \(k\to \infty\) asymptotisch gleich \(\varphi(k)\). (2) Es sei \(\delta > 0\) gegeben. Dann ist die Anzahl derjenigen arithmetischen Progressionen mod \(k\), für die \[ P(k,l) < \varphi(k)\log^{2+\delta}k, \] für \(k\to \infty\) asymptotisch gleich \(\varphi(k)\). (3) Für irrationale \(\vartheta\) ist die Folge \(p\vartheta\), wo \(p\) sämtliche Primzahlen durchläuft, gleichverteilt mod 1.