A formula of Ramanujan in the theory of primes. (Q2602037)

Für die drei Funktionen \[ J(x)=\int\limits_0^\infty \frac{(\log x)'\,dt}{t\zeta(t+1)\varGamma(t+1)}, \quad G(x) = \frac 2\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{2k}{(2k-1)B_k} \left(\frac{\log x}{2\pi}\right)^{2k-1} \] und \[ R(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}n \operatorname{Li}(\root n \of x), \] (wo die \(B_k\) die Koeffizienten von \textit{Bernoulli} sind, \(\mu(n)\) die \textit{Möbius}sche Funktion und Li der Integrallogarithmus ist), beweist Verf., daß \[ J(x)=G(x) + o(1) = R(x) + o(1). \tag{1} \] Die drei Funktionen sind Annäherungen für die Anzahl \(\pi(x)\) der Primzahlen \(\leqq x\). Daß \(J(x)\) eine solche Annäherung für \(\pi(x)\) ist, weiß man erst seit \textit{Ramanujan} (Collected papers (1927; F. d. M. 53, 30 (JFM 53.0030.*)), S. 351). Die Formel (1) besagt, daß die drei Funktionen, bis auf ein Glied, das für \(x \to \infty\) den Limes 0 hat, dieselbe Annäherung für \(\pi(x)\) liefern.