On the partition function \(p(n)\). (Q2602040)

Verf. gibt für die durch \[ \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)^{-1} = 1 + \sum_{n=1}^\infty p(n)x^n \] bestimmte arithmetische Funktion \(p(n)\) die Formel \[ p(n) = \frac 1{\pi \sqrt 2} \sum_{k=1}^\infty A_k(n)k^{\frac 12}\frac d{dn}\left(\frac{\sinh\frac{c\lambda_n}k}{\lambda_n}\right), \] wo \[ c = \pi \sqrt{\frac 23}, \quad \lambda_n = \sqrt{n-\frac 1{24}}, \quad A_k(n) = \sum_{_{\substack{ h\,\mod k\\ (h,k)=1}}} \omega_{h,k}e^{-\tfrac{2\pi i hn}k} \] und die \(\omega_{h,k}\) gewisse \(24k\)-te Einheitswurzeln sind. Damit ist die bekannte \textit{Hardy-Ramanujan}sche asymptotische Formel (Proc. London math. Soc. (2) 17 (1918), 75-115; F. d. M. 46, 198 (JFM 46.0198.*)) durch eine exakte Formel ersetzt, die sich für numerische Berechnung besser eignet als die asymptotische Formel, welche ein \(O\)-Glied enthielt (vgl. auch die nachstehend besprochene Arbeit von \textit{D. H. Lehmer}).