Homogeneous linear forms in algebraic fields. (Q2602083)

Durch Basisdarstellung der Koeffizienten und Variablen führt Verf. die gestellte Aufgabe, die ein Analogon zum \textit{Minkowski}schen Linearformensatz geben will, auf diesen zurück. \(\omega_1\), \dots, \(\omega_n\) sei eine Basis des Körpers \(K\) und \(\varOmega^2\) sei die Körperdiskriminante; in den Linearformen \[ L_u = a_{u1}X_1 + \cdots + a_{um}X_m \] seien \(a_{uv}\) (\(u,v =1, \ldots, m\)) algebraische und \(X_v\) ganzalgebraische Zahlen aus \(K\). Wird mit \(\varDelta\) die Determinante \(|a_{uv}|\) und mit \(N(\varDelta)\) die Norm derselben bezeichnet, so erhält man als Ergebnis der Arbeit: Die Ungleichungen \[ |L_u^{(r)}|\leqq \lambda_{ur} \quad (r=1,\ldots, n), \] wobei \(\lambda_{ur}\) irgendwelche reelle positive Zahlen sind mit der Bedingung, daß für konjugierte imaginäre Formen \(L_u^{(r)}\), \(L_u^{(s)}\) dle Beziehung \(\lambda_{ur}=\lambda_{us}\) gilt und daß \[ \prod_{u,r} \lambda_{ur} \geqq \left(\frac 2\pi\right)^{mn}|N(\varDelta)|\cdot |\varOmega^m|, \] haben immer eine Lösung in ganzalgebraischen Zahlen \(X\), die nicht sämtlich verschwinden. Außerdem können alle Zeichen \(\leqq \) außer höchstens zweien durch das Zeichen \(<\) ersetzt werden.