Les transformations continues et les transformations par fonctions continues. (Q2602171)

Auf Grund des Überblickes, den man über die einfachen Punkte der \textit{Peano}-Kurven hat, wird gezeigt: Satz 1 (bzw. 2): Wenn die lineare 0-dimensionale Menge \(H\) stetiges (bzw. stetiges ein-eindeutiges) Bild der linearen 0-dimensionalen Menge \(E\) ist, dann gibt es eine stetige Funktion \(\psi(x)\) der reellen Veränderlichen \(x\) und eine zu \(E\) homöomorphe lineare Menge \(T\), derart, daß \(T\) durch \(\psi\) in \(H\) übergeführt (bzw. ein-eindeutig übergeführt) wird. Anwendung 1 (bzw. 2): Wenn \(F\) eine topologisch invariante Familie von linearen Mengen ist, in der jede lineare Menge vorkommt, die Summe oder Differenz zweier Mengen ist, deren eine in \(F\) vorkommt, während die andere höchstens abzählbar ist, dann sind die stetigen (bzw. stetigen ein-eindeutigen) Bilder der Mengen aus \(F\) gerade die linearen Mengen, die man erhält, wenn man die Mengen von \(F\) durch stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen abbildet (bzw. ein-eindeutig abbildet).