Sur l'approximation de certaines sommes. (Q2602209)

Es sei \(F (x)\) für \(a\leqq x\leqq b\) definiert; \(\mathfrak Z\) eine Zerlegung des Intervalls \(\langle a,b \rangle\) in Teilintervalle mit den Teilpunkten \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_p = b\); \(|x_{\nu}-x_{\nu-1}| \leqq \delta\); \[ \sum {}_{\vphantom{\big|}{\alpha}} (F,\mathfrak Z) = \sum_{\nu=1}^{p} \left| \dfrac{F(x_{\nu})-F(x_{\nu-1})}{x_{\nu}-x_{\nu-1}}\right|^{\alpha} (x_{\nu}-x_{\nu-1}) \] für \(\alpha>0\); \(\sum_{\alpha}(F,I)\) eine Summe, die aus \(\sum_{\alpha}(F,\mathfrak Z)\) dadurch entsteht, daß die Summe nur über eine gewisse Teilmenge \(I\) von Teilintervallen erstreckt wird; \[ S_{\alpha}(F) = \overline{\lim\limits_I} \sum {}_{\vphantom{\big|}{\alpha}} (F,I), \] wobei die Gesamtlänge der Intervalle von \(I\) gegen Null streben soll. Der in der Arbeit angekündigte Hauptsatz lautet: Die Bedingung \(S_{\alpha}(F) = 0\) ist notwendig und hinreichend dafür, daß \(F\) fast überall eine endliche Ableitung \(f (x)\) besitzt und zugleich \(|f|^{\alpha}\) summierbar und \[ \lim\limits_{\delta\to 0} \sum {}_{\vphantom{\big|}{\alpha}} (F,\mathfrak Z) = \int\limits_a^b |f(x)|^{\alpha}\, dx \] ist. Hieraus wird gefolgert \[ \lim\limits_{\delta\to\infty} \sum_{\nu=1}^{p}\left|\int\limits_{x_{\nu-1}}^{x_{\nu}} fg\,dx \right|^{\alpha} \left|\int\limits_{x_{\nu-1}}^{x_{\nu}}|g|^{\tfrac{\alpha}{\alpha-1}}\,dx \right|^{1-\alpha} = \int\limits_a^b |f(x)|^{\alpha}\,dx, \] falls \(fg\) vollständig totalisierbar, \(|f|^{\alpha}\) und \(|g|^{\tfrac{\alpha}{\alpha-1}}\) summierbar in \(\langle a,b \rangle\) sind.