Note on a theorem of Myrberg. (Q2602214)

\textit{Myrberg} hat (Acta math., Uppsala, 61 (1933), 33-79; JFM 59.0355.*) eine hinreichende Bedingung für die Existenz einer \textit{Green}schen Funktion angegeben. Er stützt diese auf Satz 10 S. 63 seiner Arbeit. Dieser Satz enthält einen Zusammenhang zwischen dem \(h\)-Maß und dem transfiniten Durchmesser einer ebenen Punktmenge. Es sei \(h(t)\) eine monoton abnehmende stetige Funktion mit \(h(0) = 0\). Die Punktmenge werde durch eine Folge von Kreisen mit den Durchmessern \(\varrho_n\) bedeckt. Die untere Grenze der \(\sum h(\varrho_n)\) für beliebige solche Bedeckungen heißt das \(h\)-Maß der Menge. Es seien weiter \(x_1, x_2,\ldots, x_n\) Punkte der Menge. Der \(\lim\limits_{n\to\infty}\root{n(n-1)}\of{\text{unt. Gr. }\prod\varrho (x_i,x_k)}(\varrho (x_i,x_k)\) Abstand der Punkte \(x_i, x_k\)) heißt transfiniter Durchmesser der Menge. Der Satz von \textit{Myrberg} heißt dann: Ist das \(h\)-Maß der Menge positiv und \(\int\limits_0^k\dfrac{h(t)}{t}dt\), \(k>0\), konvergent, so ist auch der transfinite Durchmesser positiv. Verf. beweist das lineare Analogon dieses Satzes auf sogenannt elementarem Wege, d. h. ohne Verwendung der Potentialtheorie -- wie wollte er wohl auch im linearen Fall Potentialtheorie anwenden. Er behauptet, sein Beweis lasse sich unter Heranziehung eines Abbildungssatzes auch für den Fall der Ebene durchführen. Er führt das aber nicht aus.