Remarques sur certaines classes de fonctions. (Q2602237)

Betrachtet werden die Funktionen \(f(x)\) mit beliebig hohen Ableitungen \(f^{(n)}(x)\) derart, daß \(\int\limits_{-\infty}^\infty |f^{(n)}(x)|^2\, dx\) für jedes \(n\) existiert. \(\{A_n\}\) sei eine Folge gegebener positiver Zahlen. Unter der Klasse \(C^*\{A_n\}\) werden diejenigen der genannten Funktionen verstanden, für welche es eine Konstante \(K\) (von \(f\) abhängig) gibt, so daß \[ \int\limits_{-\infty}^\infty |f^{(n)}(x)|^2\, dx < K^nA_n^2 \] gilt. Zu einer Zahlenmenge \(\{\mu_n\}\) bedeute \(\{\mu_n^*\}\), die größte konvexe Folge, deren Glieder höchstens gleich denen von \(\{\mu_n\}\) sind (d. h. \(\{\mu_n^*\}\) ist eine konvexe Funktion von \(n\)). Der Folge \(A_n\) wird jetzt eine Folge \(\overline{A}_n\) zugeordnet durch \(\mu_n = \log A_n\); \(\overline{A}_n = e^{\mu_n^*}\). Ist nun \(B_n\) eine zweite Folge mit \(\overline{B}_n = O(n^2)\), so beweist Verf., daß eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jede Funktion aus \(C^*\{A_n\}\) auch zu \(C^*\{B_n\}\) gehört, ist, daß \(\root{n}\of{\overline{B}_n} = O\left(\root{n}\of{\overline{A}_n}\right)\) gilt. Der Beweis benützt die \textit{Fourier}sche Integraltransformierte.