Sur les ensembles compacts de fonctions de carrés sommables. (Q2602248)

\(f\) heißt in \(L_r\) gelegen, wenn \(\int\limits_I |f(x)|^r\, dx\) existiert; \(x\) bedeute dabei einen Punkt des \(n\)-dimensionalen Raumes, \(I\) einen Bereich darin. Die Funktionenfolge \(f_n(x)\) aus \(L_r\) heißt gegen \(f\) aus \(L_r\) im Mittel der Ordnung \(r\) konvergent, wenn \(\int\limits_I |f(x) - f_n(x)|^r\, dx\) gegen null strebt. \(f_n(x)\) heißt auf \(I\) dem Maß nach (en mesure) gegen \(f\) konvergent, wenn zu jedem \(\varepsilon >0\) das Maß \(m_n\) der Menge, auf der \[ |f(x) - f_n(x)|\geqq\varepsilon \] ist, mit \(\dfrac{1}{n}\) gegen null strebt. (Vgl. Verf., Fundam. Math., Warszawa, 9 (1927), 25-32; F. d. M. 53, 233 (JFM 53.0233.*)-234.) Aus Mittelkonvergenz folgt leicht Konvergenz dem Maß nach. Zur Untersuchung der Umkehrung hiervon geht Verf. wie folgt vor: Es bedeutet: \[ |z|^{(A)} =\begin{cases} |z| \;\text{ für} & |z|<A. \\ 0 \;\text{ für} & |z|\geqq A. \end{cases} \] \(I_1,I_2,I_3,\ldots\) sei eine solche Folge von Teilmengen endlichen Maßes von \(I\), daß \(I_n\subset I_{n +1}\) und jeder Punkt von \(I\) in mindestens einem \(I_s\) vorkommt. In Weiterbildung von bereits bei \textit{Tamarkin} und \textit{Flamant} vorkommenden Begriffen nennt Verf. eine Menge auf \(I\) summierbarer Funktionen \(\{\varphi (x)\}\) gleichmäßig summierbar (également sommables), wenn zu jedem \(\varepsilon\) ein \(A\) und \(\sigma\) so existieren, daß für alle \(\varphi (x)\) der Menge \[ \int\limits_I |\varphi |\, dx - \int\limits_{I_\sigma} |\varphi |^{(A)}\, dx < \varepsilon \] wird. Wenn \(I\) beschränkt ist, und \(\int\limits_I |\varphi (x)|^t\, dx\) unter einer von \(\varphi\) unabhängigen Schranke \(Q_t\) liegt, so ist \(|\varphi |^r\) für jedes feste \(r < t\) gleichmäßig summierbar. Es gilt nun der Satz: Notwendig und hinreichend dafür, daß für eine Funktionenfolge \(f_n(x)\) aus \(L_r\) Mittelkonvergenz der Ordnung \(r\) und Konvergenz dem Maße nach äquivalent sind, ist, daß die \(|f_n(x)|^r\) gleichmäßig summierbar auf \(I\) sind. Der Begriff der gleichmäßigen Summierbarkeit wird weiter vom Verf. verwandt, um ein neues Kriterium für die Kompaktheit einer Funktionenmenge aufzustellen, bei welchem im Gegensatz zu dem bisherigen kein vollständiges Orthogonalsystem benötigt wird. Es lautet: Notwendig und hinreichend dafür, daß eine Menge von Funktionen \(f\) aus \(L_r\) auf \(I\) kompakt sei, ist: 1. Die Funktionen \(|f|^r\) sind auf \(I\) gleichmäßig summierbar. 2. Die Funktionen \(f\) sind auf \(I\) fast gleichmäßig stetig (presque également continues). Der letztere Begriff ist dabei der bereits genannten Arbeit des Verf. entnommen.