Über die Konvergenz im Mittel biorthogonaler Reihen. (Q2602256)

Wird der \textit{Hilbert}sche Raum \(R\) durch das orthonormale Funktionensystem \(\{\varphi_i(z)\}\) aufgespannt und bezeichnet \(\{f_n(x)\}\) eine diesem Raum ungehörige Folge von Funktionen, deren Komponenten in bezug auf das System \(a_i^n\) sind, so ist für die Konvergenz im Mittel der Funktionenfolge \(\{f_n(x)\}\) hinreichend und notwendig, daß für beliebiges \(i\) die \(a_i^n\) konvergieren, die Quadratsumme der Grenzwerte \(a_i\) konvergiert und \[ \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^\infty (a_i^n)^2 = \sum\limits_{i=1}^\infty a_i^2 \] ist. Diesem Kriterium stellt Verf. ein anderes an die Seite, das auf ein schiefwinkliges, Koordinatensystem \(\{\psi_i(x)\}\) des \textit{Hilbert}schen Raumes bezogen ist, und erhält dabei eine neuartige Bedingung für die Zugehörigkeit einer gegebenen Funktion zu dem durch das schiefwinklige System aufgespannten Raum, die eine Verallgemeinerung der \textit{Parseval}schen Gleichung darstellt. Mit Hilfe dieser Bedingung werden sodann Kriterien für die Existenz des zum System \(\{\psi_i(x)\}\) adjungierten Systems, für die Kongruenz der beiden adjungierten Räume und für die Konvergenz im Mittel der zu einer Funktion gehörigen zwei biorthogonalen Reihen abgeleitet.