Anschauliches zur Gibbsschen Erscheinung und zur Annäherung durch arithmetische Mittel. (Q2602266)

Wie \textit{H. Weber} (Math. Ann. 73 (1913), 286-288; F. d. M. 44, 352) gezeigt hat, läßt sich die \textit{Gibbs}sche Erscheinung besonders klar an dem Beispiel des Integrals \[ f(x) = \int\limits_0^\infty\dfrac{\sin\, ux}{u}\, du \] übersehen. Verf. ergänzt in der vorliegenden Note zunächst die \textit{Weber}schen Ausführungen durch Figuren. Er zeigt dann weiter, daß das \textit{Weber}sche Beispiel auch geeignet ist, das Fehlen der \textit{Gibbs}schen Erscheinung bei den \textit{Fejér}schen Mitteln, sowie neuere Ergebnisse von \textit{Fejér} (J. London math. Soc. 8 (1933), 53-62; JFM 59.0298.*) über die gestaltlichen Verhältnisse bei den \((C, 2)\)- und \((H, 2)\)-Mitteln zu veranschaulichen. Zum Schluß wird noch kurz auf das Konvergenzverhalten des allgemeineren, von \textit{Euler} herrührenden Integrals \[ \int\limits_0^\infty (ux)^s\dfrac{\sin\, ux}{u}\, du \qquad (0\leqq s <1) \] in der Umgebung von \(x = 0\) eingegangen. Es zeigt für \(s\neq 0\) in verschiedener Hinsicht ein von dem Fall \(s = 0\) abweichendes Verhalten.