Sur une méthode de sommation, valable presque partout, pour les séries de Fourier de fonctions continues. (Q2602270)

Verf. gibt zunächst Bedingungen an, unter denen die mit einer beliebigen beschränkten Folge \(f_0(x), f_1(x),\ldots, f_p(x),\ldots\) reeller Funktionen gebildete trigonometrische Reihe \[ \dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} f_0(x)\, dx + \sum\limits_{p=1}^\infty\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} f_p(x) \cos\, p(x-\alpha)\, dx \] die \textit{Fourier}reihe einer quadratisch integrablen Funktion \(S(\alpha)\) ist. Das Resultat ermöglicht u. a. die Begründung des folgenden Summationsverfahrens: Es sei in \(0\leqq r < 1\) \[ \psi_0(r),\psi_1(r),\ldots,\psi_n(r),\ldots \quad (\psi_0=1) \] eine abnehmende, konvexe Folge positiver Funktionen, die den Bedingungen genügt \[ \begin{alignedat}{2}{3} & \psi_n(r)\to 1 && \text{ für } r\to 1 &\text{ bei festem } & n=0,1,2,\ldots, \tag{a}\\ & \psi_n(r)=O\left(\dfrac{1}{\log\, n}\right) && \text{ für } n\to\infty &\text{ bei festem } & r \text{ aus } 0\leqq r < 1. \tag{b} \end{alignedat} \] Ist dann \(f(x)\) eine stetige Funktion mit den \textit{Fourier}koeffizienten \(a_n, b_n\), so ist für festes \(r < 1\) die Reihe \[ \dfrac{a_0}{2}\psi_0(r) + \sum\limits_1^\infty (a_n\cos\, nx + b_n\,\sin\, nx)\psi_n(r) \tag{1} \] gleichmäßig in \(x\) konvergent und für ihre Summe \(F(r, x)\) gilt fast überall \[ \lim\limits_{r\to 1}F(r,x) = f(x). \tag{2} \] Z. B. gilt also fast überall \[ \lim\limits_{s\to 0}\sum\dfrac{a_n\cos\, nx + b_n\sin\, nx}{n^s} = f(x), \;\lim\limits_{s\to 0}\sum\dfrac{a_n\cos\, nx + b_n\sin\, nx}{1 + s\log\, n} = f(x). \]