Notes on the theory of series. XX: Generalizations of a theorem of Paley. (Q2602275)

Die Verf. beweisen die beiden folgenden Sätze: Es sei \[ \begin{aligned} & p\geqq 1, \;s\geqq 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{s} > 1, \;\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{s} - 1, \;p\leqq 2\leqq\lambda <\infty, \\ &g(z) = g(re^{i\theta}) = \sum b_nz^n, \;\int\limits_0^{2\pi}|g'(z)|^s\, d\theta = O\left(\dfrac{1}{1-r}\right), \\ & f(z) = \sum a_nz^n, \;\int\limits_0^{2\pi}|f(e^{i\theta}|^p\, d\theta <\infty; \end{aligned} \] dann gehört die Funktion \(\sum a_nb_ne^{in \theta}\) zur Klasse \(\L^\lambda\). Der zweite Satz ist eine einfache Folge des ersten. Es sei \[ \begin{gathered} p > 1, \;s\geqq 1, \;F(\theta)=\dfrac{a_0}{2} + \sum\limits_1^\infty (a_n\,\cos\, n\theta + b_n\,\sin\, n\theta), \;F\in L^p, \\ u(r,\theta) = \dfrac{a_0'}{2} + \sum\limits_1^\infty r^n (a_n'\,\cos\, n\theta + b_n'\,\sin\, n\theta), \\ \int\limits_0^{2\pi}\left|\dfrac{\partial u(r,\theta)}{\partial r}\right|^s\, d\theta < O\left(\dfrac{1}{1-r}\right), \;\int\limits_0^{2\pi}\left|\dfrac{\partial u(r,\theta)}{\partial\theta}\right|^s\, d\theta = O\left(\dfrac{1}{1-r}\right), \\ \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{s} - 1, \;1 < p\leqq 2\leqq\lambda. \end{gathered} \] Dann gehört die Funktion \[ \dfrac{a_0a_0'}{2} + \sum (a_na_n'\cos\, n\theta + b_nb_n'\sin\, n\theta) \] zur Klasse \(L^\lambda\).