Zur Theorie der Polynome von S. Bernstein. (Q2602313)

Verf. untersucht die Polynome \[ B_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk x^k(1-x)^{n-k}f\left(\frac kn\right) \] von \textit{S. Bernstein}, sowie andere verwandte, von \textit{L. Kantorovitch} eingeführte Polynome, in ihrem Zusammenhang mit gewissen Eigenschaften der erzeugenden Funktion \(f(x)\). Er beweist zunächt für eine beschränkte Funktion \(f(x)\) die Limesbeziehung \[ \lim_{n\to\infty}\frac{d^r}{dx^r} B_n(x) = f^{(r)}(x) \] an jeder Stelle \(x\), wo die Ableitung \(f^{(r)} (x)\) existiert. Daraus folgt unmittelbar der Satz von \textit{Kantorovitch}, daß das Polynom \[ (n+1)\sum_0^n\binom nk x^k(1-x)^{n-k}\cdot \int\limits_{\tfrac k{n+1}}^{\tfrac{k+1}{n+1}}f(t)dt=P_n(x) \] gegen \(f(x)\) konvergiert in jedem \textit{Lebesgue}schen Punkte dieser Funktion, wobei \(f(x)\) als \(L\)-integrierbar vorausgesetzt wird; es besteht außerdem die Konvergenz im Mittel erster Ordnung \(\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1|P_n-f|dx = 0\). Diese Ergebnisse gestatten dem Verf., die Funktionen von beschränkter Schwankung, die absolut stetigen Funktionen und gewisse andere Funktionenklassen durch das Verhalten ihrer \textit{Bernstein}schen Polynome für \(n\to\infty\) zu charakterisieren.